高中数学4.2.2 对数运算法则课后复习题

【名师】4.2.2 对数运算法则优选练习

一．单项选择

1．已知，且，若函数在上是增函数，则实数的取值范围为（     ）

A． B． 

C． D．

2．设均为正数，且，，．则（    ）

A． B． C． D．

3．已知为不相等的两个正数，且，则函数和的图象（    ）

A．关于原点对称 B．关于轴对称

C．关于轴对称 D．关于直线对称

4．为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点(    )

A．向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

5．函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（    ）

A．8 B．12 C．27 D．

6．若函数在区间上为减函数，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

7．高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设，用符号表示不大于的最大整数，如，则叫做高斯函数.给定函数，若关于的方程有5个解，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

8．已知，则（    ）

A． B． C． D．

9．已知，，，，则（    ）

A． B． C． D．

10．已知，，，则它们的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

11．设函数，，则与的大小关系是（　　）

A． B．  C． D．

12．若实数，，，则（    ）

A． B． C． D．

13．下列说法中,正确的是（     ）

A．对任意,都有

B．=是上的增函数

C．若且,则

D．在同一坐标系中,与的图象关于直线对称.

14．函数,,,其中,,存在某个实数,使得以上三个函数图像在同一平面直角坐标系中,则其图像只可能是(    )

A． B． C． D．

15．已知且，则函数和的图象只可能是(    )

A． B．

C． D．

16．的图象为　　

A． B．

C． D．

17．若，，，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

18．函数的所有零点的积为m，则有（　　）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】B

【解析】令，首先在上恒成立，求出的范围，再根据的范围确定内层函数和外层函数的单调性，列不等式求解即可．

【详解】

解：令（，且），则在上恒成立

或或

解得：，

所以外层函数在定义域内是单调增函数，

若函数在上是增函数，

则内层函数在上是增函数

，且，

解得，

实数的取值范围为，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查复合函数的单调性，对数函数的单调性，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属中档题．

2．【答案】A

【解析】作出函数的图象，是它们中的交点，由此可得其大小关系．

【详解】

如图是函数的图象，是与的交点的横坐标，是与的交点的横坐标，是与的交点的横坐标，由图可得．

故选：A．

【点睛】

本题考查实数大小比较，考查数形结合思想．解题时作出函数图象，方程的根转化为函数图象交点横坐标，大小关系通过图象一目了然．

3．【答案】B

【解析】根据已知条件得到，则．互为倒数，则函数和的图象关于轴对称．

【详解】

解：，

，

又，为不相等的两个正数，

，

则，

函数和的图象关于轴对称，

函数和的图象关于轴对称．

故选：．

【点睛】

本题考查了对数函数的图象与性质．解题时还需要掌握指数函数的图象与性质，属于基础题．

4．【答案】B

【解析】化简得到，根据函数平移法则得到答案.

【详解】

，故只需要向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度即可得到的图像.

故选：.

【点睛】

本题考查了函数的平移，意在考查学生对于函数平移的理解和掌握.

5．【答案】C

【解析】由对数函数性质求出点坐标，从而求得幂函数的解析式，然后计算函数值即可．

【详解】

在中令，即得，∴，

设幂函数解析式为，则，，∴．

∴．

故选：C.

【点睛】

本题考查对数函数的性质，考查幂函数的概念．属于基础题．

6．【答案】C

【解析】对参数进行分类讨论，取满足题意的范围即可.

【详解】

令

（1）当时，在为减函数，则：

，解得：

（2）当时，显然不成立.

综上所述：.

故选：C.

【点睛】

本题考查复合函数单调性，本题的易错点在于没有注意对数函数的定义域.

7．【答案】D

【解析】证明函数是以为周期的周期函数，并根据时，的图象画出， ，将方程的解的个数转化为函数的交点个数，讨论的取值，根据图像，列出相应不等式即可得到实数的取值范围.

【详解】

所以函数是以为周期的周期函数，当时，，则

要使得有5个解，即函数与函数的图象有5个交点.

当时，函数与函数，的图象如下图所示

不满足题意

当时，函数与函数，的图象如下图所示

要使得函数与函数的图象有5个交点，则函数的图象低于点A，不低于点B

故有 ，解得：

故选：D

【点睛】

本题主要考查了根据函数的零点个数求参数范围，属于难题.

8．【答案】A

【解析】三数与比较大小，即可求解.

【详解】

，

，

，

.

故选:A.

【点睛】

本题考查应用函数的单调性比数的大小，要注意特殊数的运用，属于基础题.

9．【答案】D

【解析】根据对数的运算性质，化简对数式，再根据，可得函数在上单调递增，利用对数的运算性质化简，即可得出.

【详解】

，则函数在上单调递增，

又，，，

由

则.

故选：D.

【点睛】

本题考查对数运算法则和对数函数单调性，属于基础题.

10．【答案】C

【解析】根据指数对数函数的性质，通过中间量，建立的大小关系.

【详解】

因为，，

故选：C.

【点睛】

本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数对数函数的性质的合理运用.

11．【答案】B

【解析】首先因为和不相等，所以，再将带入和即可比较大小.

【详解】

因为和不相等，所以.

令，，

.

所以.

故选：B

【点睛】

本题主要考查对数函数的性质和应用，利用特值法为解题的关键，属于中档题.

12．【答案】B

【解析】与中间值 0和1比较后可得．

【详解】

因为对数函数是单调递减的，所以，同理，，所以，而，所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查比较对数的大小，对于同底数的对数，可以利用对数函数的单调性比较，不同底数的对数可以与中间值0，1等比较后得出结论．

13．【答案】D

【解析】令,则,排除A;=是上的减函数,排除B;当时,成立,当时,不成立,排除C.选D.

14．【答案】C

【解析】在同一选项中的三个函数的图象，假设其中的一个正确去判断另外两个是否正确，这样就可以选出正确答案.

【详解】

A：假设指数函数的图象是正确的，所以有，这时对数函数是单调递增的，但是选项中的图象是单调递减的，所以假设不成立，故本选项不正确；

B：假设指数函数的图象是正确的，所以有，这时对数函数是单调递减的，但是选项中的图象是单调递增的，所以假设不成立，故本选项不正确；

C：假设指数函数的图象是正确的，所以有，这时对数函数是单调递减的，选项中的图象是单调递减的，假设不成立，这时幂函数图象有可能正确，也有可能错误，故存在某个实数,使得这三个图象是正确的，故本选项正确；

D假设指数函数的图象是正确的，所以有，这时对数函数是单调递增的，选项中的图象是单调递增的，所以假设成立，这时幂函数的图象是不正确的，因为这时的幂函数的定义域是全体实数集，故本选项不正确.

故选：C

【点睛】

本题考查了同一直角坐标系对数函数．指数函数．幂函数的图象，考查了数形结合思想.其时本题也可以这样思考，因为指数函数和对数函数具有相同的单调性，这样直接可以排除A，B，再根据幂函数的图象性质，结合指数函数或对数函数的单调性可以排除D.

15．【答案】C

【解析】可以先看函数定义域，再分类讨论，分和两类研究函数的单调性．

【详解】

函数的定义域是，排除A，B，

若，则是减函数，此时是减函数，C，D都不满足，

若，则是增函数，此时是增函数，C满足．

故选：C．

【点睛】

本题考查由解析式选择函数图象，掌握指数函数与对数函数的图象与性质是解题关键．解题时可求函数的定义域，研究函数的单调性，或者研究函数的其他性质用排除法确定结论．

16．【答案】C

【解析】根据对数函数的性质，得到函数的图象关于对称，再根据选项，即可得到答案．

【详解】

由可知函数的定义域为：或，函数的图象关于对称，

由函数的图象，可知，A．B．D不满足题意．

故选C．

【点睛】

本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟记对数函数的性质及函数的对称性的应用，得到函数的对称性是解答的关键，着重考查了推理与论证能力．

17．【答案】B

【解析】分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．

详解：∵a=＜＜b=，c=＞1，

则a＜b＜c，

故选：B．

点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．

18．【答案】B

【解析】作函数y=e-x与y=|log2x|的图象，设两个交点的坐标为（x1，y1），（x2，y2）（不妨设x1＜x2），得到0＜x1＜1＜x2＜2，运用对数的运算性质可得m的范围．

【详解】

令f（x）=0，即e-x=|log2x|，

作函数y=e-x与y=|log2x|的图象，

设两个交点的坐标为（x1，y1），（x2，y2）

（不妨设x1＜x2），

结合图象可知，0＜x1＜1＜x2＜2，

即有e-x1=-log2x1，①

e-x2=log2x2，②

由-x1＞-x2，

②-①可得log2x2+log2x1＜0，

即有0＜x1x2＜1，

即m∈（0，1）．

故选：B．

【点睛】

本题考查指数函数和对数函数的图象，以及转化思想和数形结合的思想应用，属于中档题．