数学第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.1 指数与指数函数4.1.1 实数指数幂及其运算一课一练

【优质】4.1.1 实数指数幂及其运算-1同步练习

一．单项选择

1．如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

2．已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则a的值是（    ）

A． B． C． D．

3．已知函数是定义在上的奇函数，则实数（    ）

A． B． C．1 D．2

4．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

5．下列各等式中成立的是（    ）

A． B．

C． D．

6．已知函数（其中，若的图象如图所示，则函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

7．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数，且，则（    ）

A． B．

C． D．

9．《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法它最早记录中国古代关于大数的记法：“黄帝为法，数有十等.及其用也，乃有三焉.十等者，亿？兆？京？垓？秭？壤？沟？涧？正？载.三等者，谓上？中？下也，其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也.中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京.上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也.从亿至载，终于大衍.下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用.故其传业，唯以中数耳.”我们现在用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆，万兆为京，…，即万，亿，兆，京，…，地球的质量大约是5.965秭千克，5.965秭的位数是（    ）

A．21 B．20 C．25 D．24

10．若不等式对任意的都成立，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．已知是奇函数，且当时，则不等式的解集为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

12．下列函数中，对定义域内任意两个自变量的值x，y都满足，且在定义域内为单调递减函数的是（    ）

A． B． C． D．

13．设且则函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

14．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，如：，，已知，则函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

16．已知函数则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

17．已知，，，则．．的大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

18．已知正数．满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】B

【解析】分析：利用指数函数的图象与性质即可得出结果.

详解：根据函数与关于对称，可知①④正确，

函数为单调递增函数，故③正确.

所以②不是已知函数图象.

故选：B

2．【答案】D

【解析】分析：根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.

详解：由题意可得，再将的图象向右平移个单位长度，得到函数，

又因为，所以，，整理可得，

因为且，解得.

故选：D.

3．【答案】B

【解析】因为，所以，

又函数是定义在上的奇函数，则有，

即恒成立，

所以．因为，所以．故选:B.

4．【答案】B

【解析】因，在上单调递增，则，即，

于是，所以.

故选：B

5．【答案】B

【解析】分析：根据分数指数幂的定义判断．

详解：，，，，只有B正确．

故选：B．

6．【答案】A

【解析】根据题意，易得的两根为．，又由函数零点与方程的根的关系，可得的零点就是．，观察的图象，可得其与轴的两个交点的横坐标分别在区间与上，又由，可得，；根据函数图象变化的规律可得的单调性及与轴交点的位置，分析选项可得答案.

详解：解：由二次方程的解法易得的两根为．；

根据函数零点与方程的根的关系，可得的零点就是．，即函数图象与轴交点的横坐标；

观察的图象，可得其与轴的两个交点的横坐标分别在区间与上，

又由，可得，；

在函数可得，由可得其是减函数，

又由可得其与轴交点在轴的下方；

分析选项可得符合这两点，均不满足；

故选：.

【点睛】

本题综合考查指数函数的图象与函数零点的定义．性质；解题的关键在于根据二次函数的图象分析出．的范围.

7．【答案】B

【解析】根据指数函数的单调性判断，再由作商法判断.

详解：因为函数是减函数，所以，所以

，所以，

所以

故选：B

【点睛】

本题主要考查了利用指数函数的单调性比较大小，属于中档题.

8．【答案】A

【解析】分析：依题意，可以令，则，，代入函数，即可比较．．三者的大小，得到答案.

详解：∵，且，

∴令，则，，

∴，，，

又∵，∴.

故选：A.

【点睛】

选择题是知识灵活运用，解题时结果准确更重要，因此，逆推验证法．正难则反法．估算法．特殊值法．排除法．数形结合法等各种方法可以穿插综合运用.由于选择题的特殊性，所以解选择题时要求“快．准．巧”，切忌“小题大做”.

9．【答案】C

【解析】分析：根据题意，万位记一进位，即记数中相邻两个相差4位，由此可得．

详解：由题意相邻记数单位后面的比前面的多4位．

1兆＝，13位数，因此1京是17位？1垓是21位？1秭是25位，5.965秭也是25位数．

故选：C．

10．【答案】A

【解析】利用指数函数切线不等式（时等号成立）对左式进行放缩后，将不等式转化为一次不等式，利用一次函数性质即可解得k的范围.

详解：因为对任意的都成立，

即： 对任意的都成立，

即，解得：，

故选：A

【点睛】

本题考查了利用指数函数切线不等式对求解参数范围的问题，其中主要是利用不等式对函数解析式进行放缩化解转化为一次不等式，利用一次函数性质求解出参数的范围，题目具有一定的难度，需要有一定的知识点积累.

11．【答案】B

【解析】当时 ，又是奇函数，图象关于原点对称，即可画出函数图象如下所示，

要使，结合图象可得或，解得或

故不等式的解集为，故选：．

12．【答案】C

【解析】利用指数函数的性质以及有理数指数幂的运算性质即可求解．

详解：函数在定义域内为单调递减函数，排除选项，，

又，函数满足题意，

故选：．

【点睛】

本题主要考查了指数函数的性质和指数幂的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．

13．【答案】C

【解析】根据两个图像得的范围，看能否统一即可.

详解：解：对A，中的，中的，不能统一，错误；

对B，中的，中的，不能统一，错误；

对C，中的，中的，正确；

对D，中的，中的，不能统一，错误；

故选：C.

【点睛】

本题考查函数图像的识别，考查一次函数和指数函数的性质，是基础题.

14．【答案】A

【解析】分析：首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值计算可得；

详解：解：因为，所以

由于，所以函数不是偶函数，排除C，D选项.

当时，，排除B选项，

故选：A.

15．【答案】A

【解析】分析：化简得出，可得时，；时，；时，，即可求出.

详解：，

当时，，则，则，此时，

当时，，则，

当时，，则，则，此时，

则对于函数，

当时，，此时；

当时，，此时；

当时，，此时，

故的值域为.

故选：A.

【点睛】

关键点睛：解题的关键是化简得出，分别求出时的取值范围.

16．【答案】A

【解析】分析：作出函数以及的大致图象，数形结合即可求解.

详解：在同一坐标系中，作出函数以及的大致图象，

观察的区域，

由图象可知，在区间和上

，由此的解集.

故选：A

17．【答案】C

【解析】因为函数是减函数，，所以，因为，，所以，故选：C.

18．【答案】C

【解析】分析：利用指数运算可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

详解：，所以，，

因为．均为正数，所以，，

当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值为.

故选：C.