数学必修 第二册4.1.2 指数函数的性质与图像课堂检测

【优质】4.1.2 指数函数的性质与图像-2课时练习

一．单项选择

1．函数且的图象恒过（    ）

A. B. C. D.

2．如果，那么（  ）

A． B．

C． D．

3．设，  则 （      ）

A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2

4．若关于的方程有解，则实数的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

5．若函数（且）的图象不经过第一象限，则有（   ）

A．且 B．且

C．且 D．且

6．下列关系中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

7．函数在区间上的最小值是（    ）

A. B. C. D.

8．使不等式23x－1＞2成立的x的取值为(　　)

A.( ，＋∞) B.(1，＋∞) C.(，＋∞) D.(－，＋∞)

9．函数的图象可能是 (　 　)

A． B． C． D．

10．当时，函数的值域为（    ）

A. B. C. D.

11．已知函数的图象与指数函数的图象关于轴对称，则实数的值是（    ）

A．1 B．2

C．4 D．8

12．函数的图象的大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

13．函数在上的最大值与最小值的和为，则（    ）

A. B. C. D.

14．素数也叫质数,部分素数可写成“”的形式（是素数）,法国数学家马丁？梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.2018年底发现的第个梅森素数是,它是目前最大的梅森素数.已知第个梅森素数为,第个梅森素数为,则约等于（参考数据：）（    ）

A． B． C． D．

15．函数的图像大致为（   ）

A. B.

C. D.

16．如图是指数函数①．②．③．④的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是（    ）

A．c＜d＜1＜a＜b B．d＜c＜1＜b＜a

C．c＜d＜1＜b＜a D．1＜c＜d＜a＜b

17．三个数，，的大小关系（    ）

A． B．

C． D．

18．函数y=ax在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则a=(    )

A．2 B． C．4 D．

参考答案与试题解析

1．【答案】A

【解析】令，则恒等于，由此可求得定点.

【详解】

由解析式可知：当时，    的图象恒过

故选：

【点睛】

本题考查函数恒过定点问题的求解，关键是能够令含参数的部分恒为一个定值，属于基础题.

2．【答案】C

【解析】 根据函数在是减函数，且，

所以，所以，故选C.

3．【答案】D

【解析】根据条件化为底为2的指数，再根据指数函数单调性确定大小.

【详解】

因为，为单调递增函数，所以即y1>y3>y2，选D.

【点睛】

本题考查指数函数单调性，考查基本化简应用能力.

4．【答案】D

【解析】可将看成的平方，等式两边同时除以，可得均值不等式的基本形式，再根据不等式的最值求解即可

【详解】

由，得（当且仅当时等号成立），解得

故选D

【点睛】

本题考查指数函数的值域代换问题，方程有解问题，基本不等式最值求解，同时考查了方程与不等式的转化思想

5．【答案】C

【解析】函数图象不经过第一象限，则指数函数单调递减，即，

且当时，，求解不等式可得：，

综上可得：且.

本题选择C选项.

6．【答案】C

【解析】根据指数函数和的单调性判断即可．

【详解】

因为在R上单调递减，故，A，D错误;

在R上单调递增，故, 则B错误，C正确

故选：C

【点睛】

本题考查了指数函数的性质，考查数的大小比较，是一道基础题．

7．【答案】B

【解析】根据指数函数的单调性，求得函数的最小值.

【详解】

由于在上递减，所以当时，函数取得最小值为.

故选：B.

【点睛】

本小题主要考查指数函数的单调性，考查指数函数在给定区间上的最值的求法，属于基础题.

8．【答案】A

【解析】不等式23x－1＞2可化为

∵函数 在上为增函数，

故原不等式等价于 解得

故选A

9．【答案】C

【解析】【详解】

采用特殊值验证法. 函数恒过（1,0），,只有C选项符合.

[点评]函数大致图象问题，解决方法多样，其中特殊值验证．排除法比较常用，且简单易用.

10．【答案】A

【解析】换元，然后将问题转化为二次函数在上的值域问题，利用二次函数的基本性质求出即可.

【详解】

换元，，，则.

可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

则，当时，，当时，.

因此，函数的值域为.

故选：A.

【点睛】

本题考查指数型函数值域的求解，解题的关键就是利用换元思想，将问题转化为二次函数在区间上的值域求解，考查化归与转化思想，属于中等题.

11．【答案】C

【解析】指数函数关于轴对称的函数为，由此得到与的关系，即可求解出的值.

【详解】

因为两函数的图象关于轴对称，所以与互为倒数，

所以，解得．

故选：C.

【点睛】

本题考查指数函数图象对称与底数之间关系，难度较易.关于轴对称的指数函数的底数互为倒数.

12．【答案】D

【解析】分与两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图像即可确定出单只图像.

【详解】

解：因为，且，所以根据指数函数的图象和性质，函数为减函数，图象下降；函数是增函数，图象逐渐上升，故选D.

【点睛】

本题主要考查分段函数，指数函数的图象和性质等知识，将原函数解析式化简为分段函数是解题的关键.

13．【答案】A

【解析】对底数分和两种情况讨论，分析函数的单调性，得出函数在区间上的最大值和最小值，利用最大值和最小值之和为求出实数的值.

【详解】

①当时，函数在上单调递减，

由题意得，解得，不合题意；

②当时，函数在上单调递增，

由题意得，解得，符合题意.

综上可得，故选：A.

【点睛】

本题考查指数函数的最值，当底数的范围不确定时，一般要分和两种情况讨论，分析指数函数的单调性，根据单调性得出指数函数的最值，考查分类讨论思想，属于中等题.

14．【答案】C

【解析】根据两数远远大于1, 的值约等于,设,运用指数运算法则,把指数式转化对数式,最后求出的值.

【详解】

因为两数远远大于1,所以的值约等于,设,

因此有.

故选：C

【点睛】

本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质．指数式转化为对数式,属于基础题.

15．【答案】B

【解析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断

【详解】

，定义域为，，

，

为奇函数，

的图象关于原点对称，

又，

函数在，为减函数，故排除．选项.

又 当 时，，，即的图象在时恒在的上方，故排除 选项，正确答案为.

故选：．

【点睛】

本题考查了函数的图象以及函数的定义域．值域．单调性等性质．本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考查其余的性质．

16．【答案】B

【解析】由指数函数的单调性分析得到，大于1，，大于0小于1，再通过取得到具体的大小关系．

【详解】

∵当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数，

当底数大于0小于1时是定义域内的减函数，

可知，大于1，，大于0小于1.

又由图可知，即，，即．

∴，，，与1的大小关系是．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了指数函数的图象和性质，考查了指数函数的单调性，训练了特值思想方法，属于中档题．

17．【答案】A

【解析】利用指数函数的单调性判断与的大小，再利用中间值判断与的大小，即可得到三个数的大小关系.

【详解】

因为在上递增，所以，

又因为在上递减，所以，

所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用指数函数的单调性比较指数幂的大小，难度一般.同底数幂的大小比较可直接通过指数函数的单调性得到，非同底数幂的大小比较有时可借助中间值“”进行比较.

18．【答案】A

【解析】y=ax在[0，1]上是单调函数，即当x=0和1时，y=ax取得最值，代入即可得到最值.

【详解】

y=ax在[0，1]上是单调函数，即当x=0和1时，y=ax取得最值，由题意，a0+a1=3，即1+a=3，所以a=2，

故选A．

【点睛】

这个题目考查了指数函数的单调性问题，指数函数的单调性由a和1的大小关系决定，当a>1时，函数单增，当0<a<1时函数单减,无论函数增减，均过定点（0，1）.