人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.2 对数与对数函数4.2.1 对数运算练习

【基础】4.2.1 对数运算-3课时练习

一．单项选择

1．已知，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

2．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

3．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

4．函数的图象与函数的图象的交点个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

5．若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

6．已知圆弧与函数和函数的图象分别相交于，，其中且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．4

7．已知，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

8．已知，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

9．某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快，对当地的生态造成极大的破坏.某科研部门在水域中投放一定面积的该植物，研究发现该植物在水面的覆盖面积(单位：)与经过的时间(单位：月)的关系式为，当投放一定面积的该植物后，经过1个月面积达到.那么要使该植物在水面的覆盖面积达到，至少要经过的时间约为（    ）参考数据：.

A．25.32个月 B．27.32个月 C．28.32个月 D．29.32个月

10．年月日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现——个三星堆文化“祭祀坑”现已出土余件重要文物.为推测文物年代，考古学者通常用碳测年法推算，碳测年法是根据碳的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳年代测定，检测出碳的残留量约为初始量的，已知碳的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是年，且属于指数型衰减.以此推算出该文物大致年代是（    ）

（参考数据：，）

A．公元前年到公元前年 B．公元前年到公元前年

C．公元前年到公元前年 D．公元前年到公元前年

11．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

12．科学家以里氏震级来度量地震的强度．若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为，若6.5级地震释放的相对能量为，7.4级地震释放的相对能量为，记，约等于（    ）

A．16 B．20 C．32 D．100

13．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

14．如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

15．已知函数为自然数对数的底数），若，，，则　　

A． B．

C． D．

16．如图，① ② ③ ④ 中不属于函数，，的一个是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

17．已知函数是在上的偶函数，且在上单调递减，令，，则满足的关系为（    ）

A． B．

C． D．

18．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间之间的关系为．如果前2小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%大约需要的时间为（参考数据：，，）（    ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】A

【解析】分析：根据对数运算法则对三者进行化简，通过做商法可比较大小；再由，可比较和的大小.

详解：解：，，，

∵，∴，

设，则，令，得；令，得；

∴在上递减，在递增.

∴，∴；

∵，∴，

∴，∴，

∵，，∵，∴，∴，

∵，，∵，∴∴，

∴．

故选：A．

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是构造函数，并利用求导法判断其增减区间.本题考查了对数函数的单调性．对数的运算法则，考查了计算能力，灵活运用能力，属于中档题.

2．【答案】D

【解析】分析：比较x．y．z与0，1的大小关系，即可得出正确答案.

详解：，，，

.

故选：D.

【点睛】

指．对数比较大小：

（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；

（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0．1比较.

3．【答案】C

【解析】分析：由指数函数和对数函数性质求得集合，然后由集合的运算法则计算．

详解：由题可得，，

所以，则．

故选：C．

4．【答案】C

【解析】分析：作出函数图像,数形结合即可得答案.

详解：解：由于函数图像是由函数图像向左平移个单位得到，进而函数在定义域内单调递增，且过定点，渐近线为，

函数，故函数对称轴为，顶点坐标为，开口向上，

所以作出的图像如图，

故图像有两个交点.

故选：C

【点睛】

本题考查对数函数的图像，考查数形结合思想，解题的关键在于根据函数性质作出函数图像，是基础题.

5．【答案】D

【解析】分析：求出的范围即得解.

详解：由题得，

，

，

所以.

故选：D

【点睛】

方法点睛：比较实数大小，一般先和零比，再把正数和1比，负数和-1比. 有时也和其它特殊值比较.

6．【答案】B

【解析】分析：由函数与函数互为反函数可得，然后可得，然后利用基本不等式的知识求解即可.

详解：因为函数与函数互为反函数，所以关于对称

所以

因为，在圆弧上

所以，所以

所以

当且仅当，即时等号成立

故选：B

7．【答案】B

【解析】分析：首先对取对数，可比较，的大小关系，利用对数的运算判断与的大小关系，即可利用单调性判断的范围，进而可得出，，的大小关系.

详解：对两边同时取常用对数可得,

所以，，

因为在单调递增，所以，

所以，即，

又因为，

，

所以，

所以.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键点是取对数判断，的大小关系，判断与的关系利用单调性得出的范围.

8．【答案】D

【解析】分析：利用对数函数的性质判定,利用指数幂的运算化为同底数的幂后利用指数函数的性质可以判定，从而得到结论.

详解：,

,

故选D.

【点睛】

本题考查利用指数．对数函数的性质比较大小问题，关键是熟练掌握和运用指数．对数函数的单调性.

9．【答案】B

【解析】分析：先求出，再根据题目条件列出指数方程，再利用对数运算性质解方程即可.

详解：当时，，则.设需要经过个月该植物在水中域中的面积达到，则，则，故至少需要经过大约27.32个月.

故选：B.

10．【答案】C

【解析】分析：设样本中碳初始值为，衰减率为，经过年后，残留量为，可得函数关系式，根据半衰期可构造方程求得，由此得到函数关系式，根据可求得，由此可推断出年代.

详解：设样本中碳初始值为，衰减率为，经过年后，残留量为，则，

碳的半衰期是年，，，；

由得：

，

年之前的年大致是公元前年，即大致年代为公元前年到公元前年之间.

故选：C.

11．【答案】A

【解析】分析：先利用对数的运算和性质比较的大小，再作差比较大小即得解.

详解：，，

；

，，

，

，

故选：A.

【点睛】

方法点睛：比较实数的大小，一般先和“0”比，再和“±1”比，再和特殊值比较，最后利用作差法比较. 要根据已知条件灵活选择方法求解.

12．【答案】C

【解析】分析：由，得到，然后分别求得，再利用指数运算求解.

详解：因为，

所以，

所以，，

所以，

故选：C

13．【答案】C

【解析】分析：由确定出1<a<2，再由转化可得b的取值情况而得解.

详解：因则，a>1，此时，则有a<2，即1<a<2，

又，而，即，b<1，

所以.

故选：C

14．【答案】B

【解析】分析：根据对数函数图象特征及与图象的关于轴对称即可求解.

详解：解：由对数函数图象特征及与的图象关于轴对称，

可确定②不是已知函数图象.

故选：B.

15．【答案】D

【解析】分析：判断函数的单调性，比较，，大小关系，利用单调性求出．

详解：解：

，

故，

而显然为减函数，

所以，

故选：．

16．【答案】B

【解析】分析：根据对数函数过点及对称性即可判断.

详解：令，可得过点，过点，过点，所以③ 是函数的图象，④是函数的图象，因为与关于轴对称，所以①是函数的图象.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查对数函数的图象，属于基础题.

17．【答案】B

【解析】分析：先分析比较．．的自变量的绝对值的大小，然后根据函数的单调性可知，当自变量的绝对值越大时，函数值越小.

详解：，，

，

因为，且在上单调递减，所以

故选：B.

【点睛】

本题考查根据函数的单调性比较函数值的大小，解答本题的关键在于自变量之间的大小比较，解答时注意对数的运算性质的运用.

18．【答案】B

【解析】分析：由题意知，污染物的初始含量为，由前2小时消除了20%的污染物建立关系式求解参数，将参数代入解析式中计算污染物减少50%大约需要的时间即可.

详解：前2小时消除了20%的污染物，则

故，

污染物减少50%，则

可得

故

故选：B

【点睛】

本题考查指数型函数模型的实际运用. 先由具体数据把参数求出来，再利用换底公式计算污染物减少50%大约需要的时间，熟悉对数的运算法则是得分的关键.