高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.1 对数运算课后作业题

【优质】4.2.1 对数运算-2练习

一．单项选择

1．函数的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象，则的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

2．已知，，，则．．的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

3．已知，，，则．．的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

4．正项等比数列中，已知，那么（    ）

A．4042 B．2021 C．4036 D．2018

5．若，且，则（    ）

A． B．

C． D．

6．熵的概念是由德国物理学家克劳修斯于1856年所提出，它用来表示任何一种能量在空间中分布的均匀程度，能量分布得越均匀，熵就越大，它在控制论．概率论．天体物理．生命科学等领域都有重要应用．在数学中，利用熵可以解决如下问题：有个互不相等的数，需要比较次（表示的阶乘：表示的是向上取整函数，如）就可以将这些数从小到大排序．现有6个互不相等的数，将这些数从小到大排序，需要比较的次数为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

7．已知函数，，若，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

8．被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为bit/s：为信道带宽，单位为：为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（    ）

A．2 B．99 C．101 D．9999

9．在平面直角坐标系中，角（）的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过函数与的交点，角，则（    ）

A． B．

C． D．

10．若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

11．已知．分别是函数．的零点，则的值为（    ）

A． B． C．2 D．4

12．设，则（    ）

A． B．

C． D．

13．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变利用这个原理，解决下面问题：已知函数满足，且当时的解析式为，则函数在的图象与直线围成封闭图形的面积是（    ）

A． B． C． D．

14．已知满足，其中e是自然对数的底数，则的值为（    ）

A．e B． C． D．

15．已知，则（    ）

A． B． C． D．

16．已知，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

17．已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i行第j列的数记为，如，则时，（    ）

A．54 B．18 C．9 D．6

18．已知，则a，b，c的大小关系是（    ）

A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>b>a

参考答案与试题解析

1．【答案】D

【解析】分析：根据函数图象的变换，求得函数，根据当时，得到，可排除A．B；当时，得到，可排除C，进而求解.

详解：由题意，可得，其定义域为，

当时，，函数，

故排除A．B选项；

当时，0，故函数，故排除C选项；

当时，函数，

该函数图象可以看成将函数的图象向右平移一个单位得到，选项D符合.

故选：D.

2．【答案】B

【解析】分析：根据指数函数．对数函数的性质可得，，，进而可得结果.

详解：∵，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴，

故选：B.

3．【答案】C

【解析】分析：结合导数求的单调性，可判断，令，结合对数的运算性质可判断出，从而可选出正确答案.

详解：解：设，则，当时，；

当时，，则在上单调递增，在上单调递减，

则当时，，即；

，则，所以，

故选：C．

【点睛】

思路点睛：

比较几个数的大小关系时，常用的思路是：1．求出函数的单调性，结合增减性进行判断；2．利用作差法，判断两数与零的关系；3．利用作商法，判断两数与1的关系.

4．【答案】B

【解析】分析：利用等比数列的中项性质结合对数的运算公式计算.

详解：正项等比数列中，，

，

∴

．

故选：B．

5．【答案】B

【解析】分析：利用特值法或利用对数函数的图象与性质即可得到结果.

详解：（方法一）对选项A：由，从而，，，从而选项A错误；

对选项B：首先，，，从而知最小，下只需比较与的大小即可，采用差值比较法：

，

从而，选项B正确；

对于选项C：由，，知C错误；

对于选项D：可知，从而选项D错误；

故选：B；

（方法二）取，，代入验证知选项B正确.

【点睛】

本题考查式子间大小的比较，考查对数函数的图象与性质，考查运算能力，属于常考题型.

难点是比较与的大小，需要用作差法，利用换底公式化为同底数的对数的商的差，通分整理后要注意使用基本不等式放缩进行判定.特值检验排除方法是考试中常用的比较灵活的方法，有可能避开复杂的判断和证明快速的解答.

6．【答案】C

【解析】分析：根据题意可得有6个互不相等的数，需要比较次，然后进行计算即可得出结果.

详解：根据题意可得有6个互不相等的数，需要比较次，

而，

且，

∴.

故选：C.

7．【答案】D

【解析】分析：由题意令，易得，令，应用导数研究单调性，进而求其最大值即可.

详解：由题意，令，

∴，，则，

令，则，而，

∴当时，，即单调增；当时，，即单调减，

∴当时，.

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：令用t表示m．n，构造，利用导数求最值.

8．【答案】C

【解析】分析：利用香农公式求的值，根据的值求的值，从而就能求出信噪比变为原来的多少倍.

详解：当，时，，

由，得，所以，

所以，即信噪比变为原来的101倍.

故选：.

9．【答案】D

【解析】分析：首先函数特征判断函数和互为反函数，所以可判断，再计算，再判断函数值的范围，判断选项.

详解：因为互为反函数，其交点在上，

又，所以，而，所以，

所以.

故选:D.

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数性质与三角函数的综合应用，本题的关键是判断函数和互为反函数，从而确定角的大小.

10．【答案】D

【解析】分析：对于选项A,B,C举反例可判断，选项D函数在上单调递增可判断.

详解：由

选项A. ，不一定成立，例如，满足，但，故A不正确.

选项B. 不一定成立，例如,

此时，此时，故B不正确.

选项C. ，不一定成立，，满足，但此时，故C不正确.

选项D. 由函数在上单调递增，当时，一定有成立，故D正确

故选：D

11．【答案】C

【解析】分析：由题意为函数与的交点的横坐标，函数与的交点的横坐标，又由函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，从而交点也直线对称，可得答案.

详解：根据题意，已知．分别是函数．的零点，

函数的零点为函数与的交点的横坐标，

则两个函数图象的交点为，

函数的零点为函数与的交点的横坐标，

则两个函数图象的交点为，

又由函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称，

而直线也关于直线对称，则点和也关于直线对称，则有，则有，

故选：C.

【点睛】

关键点睛：本题考查函数零点的定义，考查互为反函数的两个函数的图像关系，解答本题的关键是函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称，从而得出点和也关于直线对称，从而得出答案，属于中档题.

12．【答案】B

【解析】分析：利用对数函数的单调性求出范围即可比较.

详解：，，

，，

，

.

故选：B.

13．【答案】C

【解析】分析：根据题设“出入相补原理”，结合函数在的图象与直线围成封闭图形的特征及其对称性，应用数形结合的方法，移补图形可得矩形即可求面积.

详解：由题意知：关于对称，而，且，，

∴在，．及的图象如下，

∴将所围成的图形在x轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x轴上半部分阴影区域，可得到图示：由x轴．y轴．．所围成的矩形的面积，

∴函数在的图象与直线围成封闭图形的面积为.

故选：C

【点睛】

关键点点睛：利用函数的对称性及端点值，应用数形结合及“出入相补原理”，可将所围成的图形转化为由x轴．y轴．．所围成的矩形.

14．【答案】D

【解析】分析：把已知等式取对数，得到两个关系，抽象成一个方程的解，再根据方程的解的唯一性，得到，关系，进而求出结论.

详解：因为，，

所以，，

即，，

所以，均为方程的根，

又因为方程的根唯一，

所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查数与方程的关系，解题的关健要把两个条件式子化为结构一致，然后构造出一个方程，考查抽象概括能力，属于难题.

15．【答案】C

【解析】分析：利用指对数的性质，比较大小即可.

详解：由指对数的性质有：，

∴.

故选：C

16．【答案】B

【解析】分析：由对数函数的单调性可得，由指数时函数的单调性可得，从而得出答案.

详解：由函数在上单调递增， 可得，

由函数在上单调递减，可得

由函数在上单调递减，可得, 因此

故选：B

17．【答案】A

【解析】分析：求出2021数列{2n-1}中的项数，再求出数阵中前44行．前45行的数的总个数，得2021在数阵里的行数，最后由2021所在行为数据规律得它所在列数而得解.

详解：奇数构成的数阵，令，解得，故2021是数阵中的第1011个数，

第1行到第i行一共有个奇数，

则第1行到第44行末一共有个奇数，第1行到第45行末一共有1035个数，所以2021位于第45行，

又第45行是从左到右依次递增，且共有45个奇数，

所以2021位于第45行，从左到右第21列，所以，

则.

故选：A

【点睛】

关键点睛：由数列的项构成数阵问题，求指定数的位置，确定该数在数列中的位置和求出数阵的前i行数的总个数是关键.

18．【答案】B

【解析】分析：利用对数函数．指数函数和三角函数的性质判断.

详解：因为，

所以

故选：B