高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.1 对数运算随堂练习题

【优质】4.2.1 对数运算-1作业练习

一．单项选择

1．对数的创始人约翰·奈皮尔（John Napier，1550—1617）是苏格兰数学家.直到18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系.人们才认识到指数与对数之间的天然关系.对数发现前夕，随着科技的发展，天文学家做了很多的观察，需要进行很多计算，而且要算几个大数的连乘，往往需要花费很长时间.基于这种需求，1594年，奈皮尔运用了独创的方法构造出对数方法.现在随着科学技术的需要，一些幂的值用数位表示，譬如，所以的数位为4（一个自然数效位的个数，叫做数位）.则的数位是（    ）

（注）

A．6679 B．6680 C．6681 D．6682

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

3．函数及，则及的图象可能为（    ）

A． B．

C． D．

4．已知是自然对数的底数，设，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数，若，，，则，，的大小关系正确的是（    ）

A．    B．   C．    D．

6．十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于8，则需要操作的次数的最小值为（    ）

参考数据：

A．4 B．5 C．6 D．7

7．若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

8．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为(其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于（    ）参考数据：.

参考时间轴：

A．战国 B．汉 C．唐 D．宋

9．若，则（    ）

A． B．

C． D．

10．函数的定义域为 （    ）

A． B． C． D．

11．已知函数在区间上有最小值，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．若实数，，互不相等，且满足，则（    ）

A． B． C．， D．，

13．函数在轴正半轴的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

14．若，则的定义域是（    ）

A．R B． C． D．

15．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

16．函数在上的大致图像是（    ）

A． B．

C． D．

17．已知，则

A． B． C． D．

18．已知，且，则（    ）

A．2 B．4 C．6 D．9

参考答案与试题解析

1．【答案】B

【解析】分析：设，两边取常用对数得，继而求得，可得选项．

详解：设，所以，因为，所以，所以，所以的数位为6680，

故选：B.

2．【答案】B

【解析】分析：由指数与对数关系可表示出，根据对数运算法则化简可求得结果.

详解：由得：，

.

故选：B.

3．【答案】B

【解析】分析：讨论．确定的单调性和定义域．在y轴上的截距，再讨论．，结合的单调性，即可确定函数的可能图象.

详解：当时，单调递减，单调递减，所以单调递增且定义域为，此时与y轴的截距在上，排除C.

当时，单调递减，单调递增，所以单调递减且定义域为，此时与y轴的截距在上.

∴当时，单调递增；当时，单调递减，故只有B符合要求.

故选：B.

4．【答案】D

【解析】分析：利用分段的方法，得到，由此确定正确选项.

详解：因为，所以.

故选:D

5．【答案】B

【解析】由题可知：的定义域为，且

，

则为偶函数，，当时，，在上单调递增.又由

，所以，，故.故选：B

6．【答案】C

【解析】分析：由题意，先求出前几次操作去掉的区间长度，然后总结出第次操作去掉的区间的长度为，把次操作去掉的区间的长度之和转化为求等比数列的前项和，再求解不等式即可.

详解：解：记为第次去掉的长度，，剩下两条长度为的线段，第二次去掉的线段长为，…，第次操作后有条线段，每条线段长度为，

因此第次去掉的线段长度为，

所以，，

不等式两边同取常用对数有：，则，

所以的最小值为6.

故选：C．

7．【答案】D

【解析】分析：分别求出的范围即可比较大小.

详解：依题意，，，，故.

故选：D．

8．【答案】B

【解析】分析：根据“半衰期”得，进而解方程得，进而可推算其所处朝代.

详解：由题可知，当时，，故，解得，

所以，所以当时，解方程，

两边取以为底的对数得，解得，

所以，

所以可推断该文物属于汉朝.

故选：B

【点睛】

本题考查指数运算与对数运算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据半衰期计算得，进而解方程.

9．【答案】D

【解析】，

，，

，

所以.

故选：D

10．【答案】D

【解析】分析：对数函数的定义域为真数大于0，解不等式即可.

详解：解：函数的定义域为：，即或，

所以定义域为：.

故选：D.

11．【答案】A

【解析】令，为开口向上的抛物线，对称轴为

函数在区间上有最小值，

则在上先减后增，

所以，

解得.

故选：A.

12．【答案】D

【解析】分析：令，然后分别求解出，利用指数．对数函数的图象与性质直接判断出大小关系.

详解：解：设，

则，，，

根据指数．对数函数图象易得：，，

即，，

故选：D.

13．【答案】D

【解析】分析：根据，化简函数的解析式，结合对数型函数的性质，幂函数的性质进行判断即可.

详解：当时，，

因为，所以，因此可以排除A，C，

因为当时，函数单调递减，所以函数单调递减，因此可以排除B，

故选：D

14．【答案】C

【解析】分析：由互为反函数的两个函数的关系，先求出原函数的值域，可得其反函数的定义域

详解：解：因为，所以，

所以的值域为，

所以的定义域为，

故选：C

15．【答案】A

【解析】`令，

，

是单调递减函数，

而已知复合函数在上单调递增，

则在上单调递减，且在上恒成立；

即，

则实数a的取值范围是：.

故选：A.

16．【答案】D

【解析】分析：通过函数的奇偶性可排除，；通过计算的值可排除C，进而可得结果.

详解：由题可知函数的定义域关于原点对称，

且当时，，，

当时，，，故为偶函数，排除，；

而，排除C.

故选：D.

17．【答案】B

【解析】则．故选B．

18．【答案】C

【解析】分析：将指数形式转化为对数形式，代入到题设条件中，即可求得参数值.

详解：由题知，，，

则，

则

故选：C