高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.3 对数函数的性质与图像练习

【精品】4.2.3 对数函数的性质与图像-1练习

一．单项选择

1．已知函数的图象过定点，则函数在区间上的值域为（    ）

A． B． C． D．

2．某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快，对当地的生态造成极大的破坏.某科研部门在水域中投放一定面积的该植物研究发现，该植物在水面的覆盖面积y（单位：）与经过的时间t（单位：月.）的关系为，则该植物在水域中的面积达到刚开始投放时的1000倍需要的时间（单位：月）为（　　）

参考数据：.

A．20 B．22 C．24 D．26

3．设，则的大小关系是(　　)

A． B．

C． D．

4．已知，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

5．函数（）的图象的大致形状是（    ）

A． B． C． D．

6．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是(　　)

A．    B．    C．    D．

7．已知函数（且，且），则的图象过定点（    ）

A．（0,1） B．（1,1） C．（1,0） D．（0,0）

8．已知则（    ）

A． B． C． D．

9．若函数（且）是减函数，则函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

10．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是(   )

A． B．

C． D．

11．函数（且）在上为增函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．形如的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数有最小值，则“囧函数”与函数的图像交点个数为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．6

13．函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

14．函数的值域为(    )

A． B． C． D．

15．若，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

16．计算的值为（    ）

A． B． C． D．

17．已知函数,若,则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

18．若，则（   ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】求出函数过定点(2，3)，进而求出，换元求函数的值域即可.

详解：函数的图象过定点(2，3)，由题意知，，所以函数，令，，则，所以在区间上的值域为

故选：C.

【点睛】

本题考查了函数过定点和函数的值域问题，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于一般题目.

2．【答案】C

【解析】分析：首先求刚开始投放的面积，再根据公式求解的值.

详解：刚投放时的面积为，

设经过t个月该植物在水域中的面积是刚开始投放时的1000倍，

则，.

故选：C

3．【答案】B

【解析】因为，

，所以；故选B.

4．【答案】D

【解析】根据指数函数以及对数函数的性质判断即可．

详解：a＝21.2＞2＞b＝（）﹣0.8＝20.8＞1＞c＝ln2，

故a＞b＞c，

故选D.

【点睛】

本题考查了指数函数以及对数函数的单调性问题，是一道基础题，解题关键是选择好中间量．

5．【答案】C

【解析】对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.

详解：

故选C．

【点睛】

识图常用的方法

(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；

(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；

(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．

6．【答案】B

【解析】不等式对恒成立，即不等式对恒成立, 只需在内的图象在图象的下方即可，当时，显然不成立；当时，在同一坐标系中作出函数和函数的图象（如图所示），则，即，所以；故选B.

7．【答案】C

【解析】令，求得函数值，即可求得函数恒过的定点.

详解：当时，，

的图象过定点（1,0）.

故选：C.

【点睛】

本题考查指数型和对数型函数恒过的定点，属基础题.

8．【答案】A

【解析】根据对数函数与指数函数的单调性,将与0．1比较,即可得出答案.

详解：因为在上单调递增,

所以,

因为在上单调递减,

所以,

因为在上单调递增,

所以,

所以.

故选：A

【点睛】

本题考查指数与指数函数和对数与对数函数.属于基础题.本类题型一般都是将所需比较的数与0．1比较大小,熟练掌握指数函数与对数函数的单调性是解本题的关键.

9．【答案】A

【解析】由的对称性可排除B．D选项，再根据（且）是减函数可得，即可知的区间单调性，进而可得其大致图象

详解：函数关于对称，即可排除B．D

∵函数（且）是减函数，即复合函数为单调减函数

∴若令，则

10．【答案】B

【解析】由二次函数的图像得到a＞1，即-1＜b＜0，再根据对数函数的性质即可得到答案．

详解：法一：结合二次函数的图象可知，，，所以函数单调递增，排除C，D；把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，排除A，选B.

法二：结合二次函数的图象可知，，，所以，，在中，取，得，只有选项B符合，

故选B.

【点睛】

本题考查函数的图象，对数函数的图象与性质和图象的平移变换.

11．【答案】C

【解析】根据对数函数性质与复合函数的单调性求解．

详解：因为且，令，所以函数在上为减函数，

所以函数应是减函数，才可能是增函数，

∴，

因为函数在上为增函数，

由对数函数性质知，即，

综上．

故选：C．

【点睛】

本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．

12．【答案】C

【解析】令，根据函数有最小值，可得，由此可画出“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象，由图象分析可得结果.

详解：令，则函数有最小值．

∵，

∴当函数是增函数时，在上有最小值，

∴当函数是减函数时，在上无最小值，

∴.此时“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象如图所示，

由图象可知，它们的图象的交点个数为4.

所以本题答案为C.

【点睛】

本题考查对数函数的性质和函数图象的应用，考查学生画图能力和数形结合的思想运用，属中档题.

13．【答案】B

【解析】详解：函数有两个零点等价于与的图象有两个交点，当时同一坐标系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当时同一坐标系中做出两函数图象如图（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B．

考点：1．指数函数与对数函数的图象；2．函数的零点与函数交点之间的关系．

【方法点睛】

本题主要考查指数函数与对数函数的图象．函数的零点与函数交点之间的关系．属于难题．判断方程零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性．奇偶性．周期性．对称性）可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题．本题的解答就利用了方法③．

14．【答案】A

【解析】先由二次函数的性质，求出内函数的值域，再由对数函数的性质，即可求出结果.

详解：令，，

因为是开口向上，对称轴为的二次函数，

所以在上单调递减，在上单调递增；

因此，，即；

又函数单调递增，

所以时，.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查求对数型复合函数的值域，熟记对数函数的性质，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.

15．【答案】D

【解析】分析：先与1比较，再与比较，即可判断大小.

详解：

因此

故选：D

【点睛】

本题考查比较大小．指数函数单调性．对数函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.

16．【答案】C

【解析】分析：利用对数的运算性质可求得结果.

详解：.

故选：C.

17．【答案】B

【解析】先计算函数的定义域,再根据的单调性与奇偶性求解即可.

详解：由题的定义域满足,解得.

又,故为奇函数.

又,且在为减函数,故在为减函数.故为减函数.

故即.所以

,解得.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了根据函数的奇偶性与单调性求解不等式的问题,需要根据题意判断函数的奇偶性与单调性,并结合定义域进行求解,属于中档题.

18．【答案】B

【解析】分析：利用，把用表示，并得到，构造幂函数，利用幂函数的单调性，得到结果.

详解：

设，则，

则

则

设函数，

在单调递减

即，因此

故选B项.

【点睛】

本题考查对数与指数关系，构造函数，幂函数的特点等，属于中档题.