高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 必要条件与充分条件第2课时同步训练题

第2课时　习题课　充分条件与必要条件的综合应用

A级必备知识基础练

1.“(2x-1)x=0”是“x=0”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.若p:x-1≤1,q:x≤a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是(　　)

A.(2,+∞) B.(-∞,2)

C.(-2,+∞) D.(-∞,-2)

3.已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x≤-2,或x≥4},则“A∩B=⌀”的充要条件是(　　)

A.0≤a≤2 B.-2<a<2

C.0<a≤2 D.0<a<2

4.已知p:-1<x<3,q:-1<x<m+1,若q是p的必要不充分条件,则实数m的取值范围是　　　　　. 

5.求证:“关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”.

6.设p:x>a,q:x>3.

(1)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围;

(2)若p是q的充分不必要条件,求a的取值范围;

(3)若a是方程x2-6x+9=0的根,判断p是q的什么条件.

B级关键能力提升练

7.(2022广东佛山二模)设x,y∈R,则“x<y”是“(x-y)·y2<0”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.已知p:|x|<a(a>0),q:-1<x+1<4,若p是q的充分条件,则a的取值范围是　　　　　　　,若p是q的必要条件,则a的取值范围是　　　　　　　. 

9.已知p:0<x+m<3m(m>0),q:x(x-4)<0,若p是q的既不充分也不必要条件,求实数m的取值范围.

C级学科素养创新练

10.已知ab≠0,求证:a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是“a-b=0”.

第2课时　习题课　充分条件与必要条件的综合应用

1.B　由(2x-1)x=0得x=0或x=,故(2x-1)x=0是x=0的必要不充分条件.故选B.

2.A　由x-1≤1,得x≤2.设A={x|x≤2},B={x|x≤a},因为p是q的充分不必要条件,所以A是B的真子集.则a>2.故选A.

3.A　由A∩B=⌀,得故0≤a≤2.

4.(2,+∞)　由题意,命题p:-1<x<3,q:-1<x<m+1,因为q是p的必要不充分条件,则m+1>3,解得m>2,即实数m的取值范围是(2,+∞).

5.证明(充分性)

因为ac<0,

所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0.

故一元二次方程一定有两个不相等实根,设为x1,x2,

则x1x2=<0,

所以方程的两根异号.

即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.

(必要性)

一元二次方程有一正根和一负根,设为x1,x2,

则由根与系数的关系得x1x2=<0,即ac<0.

综上可知,“一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”.

6.解设A={x|x>a},B={x|x>3}.

(1)若p是q的必要不充分条件,则有B⫋A,所以a的取值范围为{a|a<3}.

(2)若p是q的充分不必要条件,则有A⫋B,所以a的取值范围为{a|a>3}.

(3)因为方程x2-6x+9=0的根为3,则有A=B,所以p是q的充要条件.

7.B　当y=0时,由x<y推不出(x-y)·y2<0,不是充分条件;

由(x-y)·y2<0,得x-y<0,则x<y,是必要条件.

故“x<y”是“(x-y)·y2<0”的必要不充分条件.

8.(-∞,2]　[3,+∞)　p:-a<x<a,q:-2<x<3,若p是q的充分条件,则(-a,a)⊆(-2,3),

所以故a≤2.

若p是q的必要条件,则(-2,3)⊆(-a,a),

所以则a≥3.

9.解由p解得-m<x<2m,

由x(x-4)<0,得解得0<x<4.

若p是q的充分条件,则有解得m无解;

若p是q的必要条件,则有解得m≥2.

因此当p是q的既不充分也不必要条件时,实数m的取值范围是(0,2).

10.证明(1)充分性

因为a-b=0,所以a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0成立.

(2)必要性

因为a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0,

而a2-ab+b2=a-2+,又ab≠0,所以a≠0且b≠0,从而a-2≥0,且>0,

所以a2-ab+b2=a-2+>0,

所以a-b=0成立.

综上,a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是“a-b=0”.