2021-2022学年山东省济南市章丘四中高一（下）第一次质检数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年山东省济南市章丘四中高一（下）第一次质检数学试卷

1.  的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，，，则a，b，c的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  要得到函数的图象，需将函数的图象(    )

A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

5.  设非零向量，满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  化简得(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知非零向量，满足，且，则与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知是函数的最大值点，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  下列各式中，与相等的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  若平面向量、、两两的夹角相等，且，，，则(    )

A.  B. 3 C. 5 D. 6

11.  已知M为的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是(    )

A.
B. 当时，函数单调递增
C. 当时，点P到x轴的距离的最大值为
D. 当时，

13.  已知A，B，C三点共线，且，若，则______.

14.  等边三角形ABC的边长为1，，，，那么等于______ .

15.  对于锐角，若，则______.

16.  在角、、、…、的终边上分别有一点、、、…、，如果点的坐标为，，，则…__________.

17.  已知
化简；
若，求的值．

18.  在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题.
已知，，，____，求

19.  如图所示，在▱ABCD中，已知，，
求的模；
若，，求的值．

20.  设函数
求的最小正周期和单调递增区间；
当时，求函数的最大值和最小值.

21.  已知不共线向量，满足，，
求；
是否存在实数，使与共线？
若，求实数k的值．

22.  函数在R上的最大值为，
若点在的图象上，求函数图象的对称中心；
将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得函数的图象，若在上为增函数，求的最大值.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查诱导公式及两角和与差的三角函数，属于基础题.
结合诱导公式及两角差的余弦公式求解即可得答案．

【解答】

解：



故选：

2.【答案】C 

【解析】

【分析】
本题考查两角和与差的三角函数及二倍角公式，属基础题.
由及即可得解．
【解答】
解： 
，
，
故选  

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数化简，三角函数性质的应用，中档题．
根据三角函数公式化简，再根据函数的单调性判断即可．

【解答】

解：，
，，
故，
故选：

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．

【解答】

解：将函数的图象，向左平移个单位长度，
可得函数的图象，
故选：

5.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查两个向量的关系的判断，属于基础题.
由已知得，从而，由此得到

【解答】

解：非零向量，满足，
，
即，
整理得，
解得，

故选

6.【答案】C 

【解析】解：
，，
，

故选C
利用诱导公式对原式化简整理，进而利用同角三角函数关系进行化简，整理求得问题答案．
本题主要考查了诱导公式的化简求值和同角三角函数的基本关系的应用．巧妙的利用了同角三角函数中平方关系．
 

7.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属于基础题．
由，可得，进一步得到，然后求出夹角即可．

【解答】

解：，

，
，
，
，
故选

8.【答案】A 

【解析】解：，其中，，
当，，即，时，函数有最大值，
此时
故选：
化简，根据最值得到，，代入计算即可得解．
本题主要考查三角函数的最值，辅助角公式，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．
 

9.【答案】BCD 

【解析】解：对于A，原式，错误；
对于B，原式，正确；
对于C，因为，，所以原式，正确；
对于D，原式，正确．
故选：
利用三角函数恒等变换逐项化简即可求解．
本题考查了三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

10.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题考查利用向量的数量积求向量的模，属于基础题．
由平面向量、、两两的夹角相等可得夹角为或，根据夹角的取值分类讨论，利用向量的数量积求

【解答】

解：因为平面向量、、两两的夹角相等，所以夹角为或，
由题意知：，，，
当夹角为时，，，，
则
，故选项D正确；
当夹角为时，，，
，
则
，故选项A正确．
故选：

11.【答案】ABD 

【解析】解：因为D为BC中点，
所以，A正确；
由M为的重心可得，，
同理，，
所以，B正确；
因为，
所以，
，D正确．
故选：
由已知结合向量的线性表示及三角形的重心性质分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了平面向量的线性表示及三角形的重心的性质的简单应用，数基础试题．
 

12.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题考查匀速圆周运动的数学模型、判断正弦型函数的单调性或求解单调区间，属于中档题．
求出圆的半径R，利用周期求出，根据函数的解析式求出初相，利用正弦函数的性质即可判断各个选项．

【解答】

解：由题意得，
因为，所以，
将点代入，
得，所以，
又，所以，故A正确；
所以，
当时，，所以函数先增后减，故B错误；
当时，点P到x轴的距离的最大值为6，故C错误；
当时，，则点P的纵坐标为，点P的横坐标为，
又点，所以，故D正确．
故选：

13.【答案】 

【解析】解：，
，
又，故，
故答案为：
利用向量的基本运算可解．
本题考查了向量的基本运算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：等边三角形ABC的边长为1，
，
，
，

故答案为：
根据等边三角形求出各向量间的夹角，代入数量积公式计算．
本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：为锐角，，
，，
，
则


故答案为：
观察角与角之间的关系，利用诱导公式和二倍角公式将所求角转化为已知角，能求出结果．
本题考查角与角之间的关系、诱导公式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了诱导公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由点的坐标为，，，可得：，即可得出．

【解答】

解：由点的坐标为，，，
可得：，

则…
故答案为：

17.【答案】解：



因为，即，
所以，
整理得，
则，
即 

【解析】利用诱导公式即可化简得解．
有由已知可求，两边平方利用同角三角函数关系式及二倍角公式即可求解．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数关系式及二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：选择条件①，
得，
因为，所以，可得；
所以；
由于，，所以，
所以；
所以

选择条件②：，
，
所以；
由于，，所以，
所以；
所以

选择条件③：因为，所以，；
由，可得，解得，；
由于，，所以，
所以
所以
 

【解析】本题考查三角函数恒等变换的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
选择条件①，利用二倍角公式求出，再利用同角的三角函数关系求出、的值，由计算的值．
选择条件②：，利用二倍角公式求出的值，以下解法同条件①．选择条件③：由，利用同角的三角函数关系求出、，以下解法同条件①．
 

19.【答案】解：在▱ABCD中，已知，，
，
，

由图形得，，
所以：，
，
，
 

【解析】直接利用向量的线性运算和余弦定理求出结果．
利用向量的线性运算和数量积运算求出结果．
本题考查的知识要点：余弦定理的应用，向量的线性运算的应用，向量的模的运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
 

20.【答案】解：



，
所以的最小正周期是，
由，，解得，，
所以的单调递增区间为，
当时，，
此时，可得，
综上，最大值为，最小值为 

【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．
利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，利用正弦函数的周期公式可求的最小正周期，利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间；
由已知可求，利用正弦函数的性质即可求解．
 

21.【答案】解：向量，满足，，，
所以，
解得；
假设存在实数，使与共线，
则存在，使得，
又，不共线，
所以，解得，
即存在，使得与共线；
若，则，
即，
所以，
整理得，
解得或 

【解析】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
由平面向量的数量积运算求出的值；
假设存在实数，使与共线，由此列出方程求得的值；
由平面向量的数量积列方程求出k的值．
 

22.【答案】解：由题意，，
由，得，
，，
则
又，
得，
，
，取，得

由，得，
函数图象的对称中心为，；
将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得函数的图象，
则
由，，
得，，
取，得
由在上为增函数，得
，解得，
又，，
的最大值为 

【解析】由题意，，再由，求得，结合点在的图象上求得，则函数解析式可求，进一步求得函数的对称中心坐标；
由题意求得函数的解析式，得到函数的增区间，再由在上为增函数列关于的不等式组求解．
本题考查型函数的图象与性质，考查计算能力，是中档题．