浙教版初中数学九年级下册第一单元《解直角三角形》（困难）（含答案解析） 试卷

这是一份浙教版初中数学九年级下册第一单元《解直角三角形》（困难）（含答案解析），共42页。

浙教版初中数学九年级下册第一单元《解直角三角形》（困难）（含答案解析）
考试范围：第一单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，已知△ABC中，∠B=90°，D，E分别为BC，AC的中点，连结DE，过D作AC的平行线与∠CAB的角平分线交于点F，连结EF，若EF⊥DF，AC=2，则∠DEF的正弦值为(    )
A. 5−12 B. 5+14 C. 5−14 D. 3+54
2. 在△ABC中，已知tanA=tanB，则下列说法不正确的是(    )
A. 边AB上任意一点P到边AC、BC的距离之和等于点B到AC的距离
B. 边AB的垂直平分线是△ABC的对称轴
C. △ABC的外心可能在△ABC内部、边上或外部
D. 如果△ABC的周长是l，那么BC=l−2AB
3. 如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点M处，折痕为AP，再将△PCM，△ADM分别沿PM，AM折叠，此时点C，D落在AP上的同一点N处.给出以下结论：①M是CD的中点；②AD//BC；③∠DAM+∠CPM=90∘；④当AD=CP时，ABCD=32．
其中正确的个数为(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=12，则sinA的值为(    )
A. 12 B. 22 C. 32 D. 3
5. 如图，AB是半径为1的半圆弧，△AOC为等边三角形，点D是BC上的一动点、则△COD的面积S的最大值是  (    )


A. 34 B. 33 C. 32 D. 12
6. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90∘，cosB=14，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE=∠B，连接CE，则CEAD的值为(    )
A. 32 B. 3 C. 152 D. 2
7. 已知圆内接正三角形的面积为3，则该圆的内接正六边形的边心距是(    )
A. 2 B. 1 C. 3 D. 32
8. 如图，在正方形ABCD中，AB=2，点E是BC边的中点，连接DE，延长EC至点F，使得EF=DE，过点F作FG⊥DE，分别交CD、AB于N、G两点，连接CM、EG、EN，下列正确的是：①tan∠GFB=12；②MN=NC；③CMEG=12；④S四边形GBEM=5+12(    )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
9. 四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°、270°角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的T字形和V字形，那么T字形图中高与宽的比值hl为(    )

A. 2 B. 2+12 C. 4+24 D. 322
10. 如图，OA=4，线段OA的中点为B，点P在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，PA的中点为Q.当点Q也落在⊙O上时，cos∠OQB的值等于(    )

A. 12
B. 13
C. 14
D. 23
11. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP.则下列结论：①AE⊥BF；②△OAP∽△EAC；③四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14；④AP−BP=2OP；⑤若BE：CE=2：3，则tan∠CAE=47.其中正确的结论有个．(    )



A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
12. 如图，建筑工地划出了三角形安全区(△ABC)，一人从A点出发，沿北偏东53°方向走50m到达C点，另一人从B点出发，沿北偏西53°方向走100m到达C点，则点A与点B相距 (tan53°=43)(    )
A. 3015m B. 3017m C. 4010m D. 130m
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D.给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正确的结论有______．


14. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为______．


15. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=35，BE=2，则该菱形的面积是______．


16. 如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AH：AE=4：3，四边形EFGH的周长是40cm，则矩形ABCD的面积是______cm2．


三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，求tan∠CBE的值．

18. (本小题8.0分)
(1)如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75∘，∠CAD=，AD=2，BD=2DC，求AC的长．


(2)如图2，在四边形ABCD中，∠BAC=90∘，∠CAD=30∘，∠ADC=75∘，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．

19. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点．

(1)求证：△ABE≌△CDF．
(2)当BC=2AB=4，且△ABE的面积为3，求证：四边形AECF是菱形．

20. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF，CF，若AF=10，BC=45，求tan∠BAD的值．

21. (本小题8.0分)
如图，已知抛物线y=ax2−2ax−3a(a为常数，且a>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=−33x+b与抛物线的另一交点为D，与y轴交于点E，且DE：BE=2：3．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设P为线段BD上一点(不含端点)，连接AP，一动点M从点A出发，沿线段AP以每秒1个单位的速度运动到P，再沿线段PD以每秒2个单位的速度运动到D后停止.当点P的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
(3)将△ABC绕点B顺时针旋转α(0°<α<180°,)当点A的对应点A’落在△ECB的边所在直线上时，求此时点C的对应点C’的坐标．

22. (本小题8.0分)
如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，连接BD．

(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点(不与点B，D重合)，点F在边AD上，且BE=3DF．
①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+3CF的值是否也最小？如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，请说明理由．
23. (本小题8.0分)
如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF=AE，且CF、DE相交于点G．

(1)当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
(2)当CG=2时，求AE的长；
(3)当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．
24. (本小题8.0分)
小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD=BE=10cm，CD=CE=5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE=40°．
(1)连结DE，求线段DE的长．
(2)求点A，B之间的距离．
(结果精确到0.1cm.参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)

25. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=35，求AD的长．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形的性质及判定，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．延长DF交AB于H，作FT⊥AB于T.设DF=x.构建方程求出x即可解决问题．
【解答】
解：延长DF交AB于H，作FT⊥AB于T.设DF=x．

∵DH//AC，BD=DC，
∴BH=AH，
∴DH=12AC=1，
∴FH=1−x，
∵FA平分CAB，FE⊥AC，FT⊥AB，
∴FE=FT，
∴Rt△CFE≌Rt△AFT(HL)，
∴AE=AT=1，
∵∠FAE=∠AFH=∠FAH，
∴FH=AH=BH=1−x
∴TH=1−(1−x)=x，
∵∠C=∠BDH=∠TFH，
∴tan∠C=tan∠TFH，
∴2−2x2=x1−x，
解得x=3−52或3+52(舍弃)，
∴AB=2−2x=5−1，
∵DE=12AB=5−12，
∴sin∠DEF=DFDE=5−12．
故选A．  
2.【答案】D 
【解析】解：
在△ABC中，tanA=tanB，
∴∠A=∠B，
P为AB边上任意一点，作PE⊥BC交BC于E点，作PF⊥AC于F点，作BD⊥AC于D点，如图：








∴sin A=PFPA，sin ∠PBE=PEPB，sin A=BDAB，
∴PF=PAsin A，PE=PBsin B=PBsin A，BD=ABsin A，
∴PF+PE=PAsin A+PBsin A=(PA+PB)sin A=ABsin A=BD，
∴边AB上任意一点P到边AC、BC的距离之和等于点B到AC的距离，故A中说法正确；
∵∠A=∠ABC，
∴CA=CB，
∴边AB的垂直平分线是△ABC的对称轴，故B中说法正确；
∵∠A=∠B，
∴∠A，∠B均为锐角，
∴△ABC可能为锐角三角形，也可能为直角三角形，也可能为钝角三角形，
∴△ABC的外心可能在△ABC内部、边上或外部，故C中说法正确；
∵△ABC的周长是l，
∴AB+AC+BC=l，
∵∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴2BC+AB=l，
∴BC=l−AB2≠l−2AB，故D中说法错误．
故选D．


3.【答案】D 
【解析】解：∵将△PCM，△ADM分别沿PM，AM折叠，
∴DM=MN=CM，∠D=∠ANM，∠C=∠PNM，∠DAM=∠PAM，∠CPM=∠APM，
∴点M是CD的中点，
∵∠ANM+∠PNM=180∘，
∴∠D+∠C=180∘，∴AD//BC，
∴∠DAP+∠CPA=180∘，
∴∠DAM+∠CPM=90∘，
∴∠MAP+∠APM=90∘，
∴∠AMP=90∘，
由折叠的性质可得，AD=AN，CP=PN，∠B=∠AMP=90∘，∠APB=∠APM=∠CPM=60∘，故①②③正确．
当AD=CP时，∵AD//CP，
∴四边形ADCP是平行四边形，
∴AP=CD，
∴ABCD=ABAP=sin∠APB=32，故④正确．
故选D．


4.【答案】A 
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=12，
则sinA=cosB=12，
故选：A．
利用互余两角三角函数的关系判断即可．
此题考查了互余两角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

5.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的面积的求法与锐角三角函数的增减性有关知识，根据三角形的面积公式S△COD=12CO⋅ODsin∠COD，因为CO，OD都是圆的半径1，所以S△COD=12sin∠COD，根据∠COD的范围，分锐角，钝角两种情况分析，进行解答即可．
【解答】
解：S△COD=12CO⋅ODsin∠COD，
∵CO=OD=1，
∴S△COD=12sin∠COD，
∵△AOC为等边三角形，
∴∠COB=120°，
∴0°<∠COD≤120°，
当0°<∠COD≤90°时，随着∠COD角度的增大，sin∠COD增大，
当90°<∠COD≤120°时，随着∠COD角度的增大，三角形的底不变，高在减小，面积S在减小，
∴当∠COD=90°时，sin∠COD最大，最大值是1，
∴△COD的面积S的最大值是12．
故选D．  
6.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是证明EA=EC=ED，属于中考常考题型.设DE交AC于T，过点E作EH⊥CD于H.首先证明EA=ED=EC，再证明∠B=∠ECD，可得结论．
【解答】
解：设DE交AC于点T，过点E作EH⊥CD于点H，如图所示．

∵在Rt△ABC中，点D是边BC的中点，
∴AD=DB=DC．
∴∠B=∠DAB．
∵∠B=∠ADE，
∴∠DAB=∠ADE．
∴AB//DE．
∴∠DTC=∠BAC=90∘．
∵DT//AB，BD=DC，
∴AT=TC．
∴EA=EC=ED．
∴∠EDC=∠ECD．
∵EH⊥CD，
∴CH=DH．
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B.
∴∠ECD=∠B.
∴cos∠ECH=cosB=14，
∴CHEC=14．
∴ECAD=ECCD=EC2CH=2．  
7.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．
根据题意可以求得半径，进而解答即可．
【解答】
解：如图(1)，O为△ABC的中心，
AD为△ABC的边BC上的高，
则OD为边心距，
∴∠BAD=30°，
又∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAD=30°，
∴∠OBD=60°−30°=30°，
在Rt△OBD中，BO=2DO，
即AO=2DO，
∴OD：OA：AD=1：2：3．
在正△ABC中，AD是高，设BD=x，
则AD=BD⋅tan60°=3BD=3x.
∵正三角形ABC面积为3，
∴12BC⋅AD=3，
∴12×2x⋅3x=3，
∴x=1．
即BD=1，则AD=3，
∵OD：OA：AD=1：2：3，
∴AO=3×23=233．
即这个圆的半径为233．
所以该圆的内接正六边形的边心距233×sin60°=233×32=1，
故选：B．  
8.【答案】B 
【解析】解：∵∠DCE=∠FME=90°，∠DEC=∠MEF，DE=EF，
∴△DCE≌△FME(AAS)，
∴∠GFB=∠CDE，
∴tan∠GBF=tan∠CDE=CECD=12，
故①正确，
由①可得：CE=EM，
∵EN=EN，∠EMN=∠ECN=90°，
∴Rt△EMN≌Rt△ECN(HL)，
∴MN=NC，
故②正确，
∵EM=EC，
∴∠EMC=∠ECM，
∵EM=CE=BE，GE=GE，∠B=∠GME=90°，
∴Rt△GBE≌Rt△GME(HL)，
∴∠BEG=∠GEM，
∵∠BEM=∠EMC+∠ECM，
∴2∠GEM=2∠EMC，
∴∠GEM=∠EMC，
∴CM//GE，
∴△FCM∽△FEG，
∴CMEG=CFEF≠12；
故③不正确，
∵CE=1，CD=2，
∴S△EMFS△CDE=12×1×2=1，
∵∠F=∠F，∠FME=∠B=90°，
∴△FME∽△FBG，
∴S△FBGS△FME=(BFFM)2=(1+52)2，
∴S△FBG=3+52，
∴S四边形GBEM=3+52−1=1+52，
故④正确，
∴正确的是①②④．
故选：B．
①证明△DCE≌△FME，由tan∠GFB=tan∠CDE可得；
②结合①EM=CE，证明△MEN≌△CEN；
③证明CM//GE，得CMEG=CFEF≠12；
④求出△FBG和△FME的面积，进而由它们的差可得．
本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是层层递进，下一问要有意识应用前面解析．

9.【答案】C 
【解析】解：如图1中，设AB=a，则AC=DE=2a，CE=22a，
∴h=a+22a，l=22a，
∴hl=a+22a22a=4+24，
故选：C．
如图1中，设AB=a，则AC=DE=2a，CE=22a，求出h，l，可得结论．
本题考查解直角三角形，四巧板，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会利用参数解决问题．

10.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题目考查了等腰三角形的性质、三角形中位线的性质、锐角三角函数，关键是要根据点Q是AP的中点来分析作辅助线解答．
【解答】
解：当点Q也落在⊙O上时，如图，连结OP、OQ、BQ．

∴Q为AP的中点，B为OA的中点，
∴BQ=12PO=1，
作OH⊥BQ于H，
∵OB=OQ，
∴QH=12BQ=12，
∴cos∠OQB=QHOQ=14，
故选C．
  
11.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
①可证明△COF≌△BOE，进而证明△ABE≌△BCF，进一步得出结论；
②可证明△ABP∽△AEB，从而AB2=AP⋅AE，可证明△AOB∽△ABC，从而AB2=OA⋅AC，进而得出AP⋅AE=OA⋅AC，从而得出结论；
③由四边形OECF的面积等于△COE的面积加△COF的面积可得四边形OECF的面积等于△COE的面积加△BOE的面积，从而四边形OECF的面积等于△BOC的面积，进而得出结论；
④作∠POQ=90°，交AP于Q，可证得PQ=2OP及△AOQ≌△BOP，进一步得出结论；
⑤作FG⊥BD于G，设CF=2a，则CD=BC=5a，BD=2BC=52a，可得出tan∠DBF=37，可证得∠DBF=∠CAE，从而得出tan∠CAE=37，从而得出结论．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OCF=∠OBE=45°，∠BOC=90°，AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠BOC=∠EOF=90°，
∴∠BOC−∠COE=∠EOF−∠COE，
∴∠COF=∠BOE，
∴△COF≌△BOE(AAS)，
∴CF=BE，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠CBF=∠BAE，
∵∠ABE+∠CBF=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠APB=90°，
∴AE⊥BF，
故①正确；
由△ABP∽△AEB得，AB2=AP⋅AE，
由△AOB∽△ABC得，AB2=OA⋅AC，
∴AP⋅AE=OA⋅AC，
∵∠POA=∠CAE，
∴△AOP∽△AEC，
故②正确；
由①知：△COF≌△BOE，
∵四边形OECF的面积等于△COE的面积加△COF的面积，
∴四边形OECF的面积等于△COE的面积加△BOE的面积，
∴四边形OECF的面积等于△BOC的面积，
而△BOC的面积等于正方形ABCD的面积的14，
∴四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14；
故③正确；
如图，

作∠POQ=90°，交AP于Q，
∵∠APO=45°，
∴∠OQP=90°−∠APO=45°，
∴OQ=OP，PQ=2OP，
∵∠AOB=∠POQ=90°，
∴∠AOQ=∠BOP，
∵OA=OB，
∴△AOQ≌△BOP(SAS)，
∴AQ=BP，
∵AP−AQ=PQ，
∴AP−PQ=2OP，
故④正确；
如图2，

作FG⊥BD于G，
∵BE：CE=2：3，
∴BE：BC=2：5，
∵CF=BE，
∴CF：BC=2：5，
设CF=2a，则CD=BC=5a，BD=2BC=52a，
∴DF=3a，
∴FG=DG=22DF=322a，
∴BG=BD−DG=52a−322=722a，
∴tan∠DBF=FGBG=322a722a=37，
∵∠ABD=∠APO=45°，
∴点A、B、P、O共圆，
∴∠DBF=∠CAE，
∴tan∠CAE=37，
故⑤不正确，
∴①②③④正确，
故选：C．  
12.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形，方位角，勾股定理得应用，过C作CF⊥AD，CE//AD，BE//AG，则∠CEB=90°，根据题意，结合勾股定理，求得AF=40，CF=DE=30，FD=CE=80，BE=60，最后根据勾股定理可得AB．
【解答】
解：如图，一人从A点出发，沿北偏东53°方向走50m到达C点，另一人从B点出发，沿北偏西53°方向走100m到达C点，
过C作CF⊥AD，CE//AD，BE//AG，则∠CEB=90°，

∴∠GAC=∠ACF=∠EBC=∠BCF=53°，AC=50，BC=100，
∵tan53°=43
∴AFFC=CEEB=43
在直角三角形ACF和直角三角形BCE中，结合勾股定理可得
AF=40，CF=DE=30，FD=CE=80，BE=60，
∴AD=120，
∴根据勾股定理可得AB=1202+302=3017
故选B．
  
13.【答案】①②③④ 
【解析】解：∵∠A=90°，AD⊥BC，
∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，
∴∠α=∠B，∠β=∠C，
∴sinα=sinB，故①正确；
sinβ=sinC，故②正确；
∵在Rt△ABC中sinB=ACBC，cosC=ACBC，
∴sinB=cosC，故③正确；
∵sinα=sinB，cos∠β=cosC，
∴sinα=cos∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
本题主要考查锐角三角函数的定义，根据∠A=90°，AD⊥BC，可得∠α=∠B，∠β=∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．

14.【答案】217 
【解析】
【分析】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质．作EH⊥AD于H，连接BE、BD，连接AE交FG于O，如图，利用菱形的性质得△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，再在在Rt△BCE中计算出BE=3CE=3，接着证明BE⊥AB，设AF=x，利用折叠的性质得到EF=AF，FG垂直平分AE，∠EFG=∠AFG，所以在Rt△BEF中利用勾股定理得(2−x)2+(3)2=x2，解得x=74，接下来计算出AE，从而得到OA的长，然后在Rt△AOF中利用勾股定理计算出OF，再利用余弦的定义求解．
【解答】
解：作EH⊥AD于H，连接BE、BD，连接AE交FG于O，如图，



∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，
∵E点为CD的中点，
∴CE=DE=1，BE⊥CD，
在Rt△BCE中，BE=3CE=3，
∵AB//CD，
∴BE⊥AB，
设AF=x，
∵菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，
∴EF=AF，FG垂直平分AE，∠EFG=∠AFG，
在Rt△BEF中，(2−x)2+(3)2=x2，解得x=74，
在Rt△DEH中，DH=12DE=12，HE=3DH=32，
在Rt△AEH中，AE=(2+12)2+(32)2=7，
∴AO=72，
在Rt△AOF中，OF=(74)2−(72)2=214，
∴cos∠AFO=21474=217．
故答案为217．  
15.【答案】20 
【解析】解：∵DE⊥AB，cosA=35，
∴设AE=3x，AD=5x，
∵BE=2，
∴菱形的边AB=3x+2=5x，
解得x=1，
∴AE=3，AD=5，
在Rt△ADE中，DE=AD2−AE2=52−32=4，
∴该菱形的面积=AB⋅DE=5×4=20．
故答案为：20．
根据∠A的余弦设AE=3x，AD=5x，根据菱形的四条边都相等列式求出x的值，从而得到AE、AD的值，再利用勾股定理求出DE，然后根据菱形的面积等于底乘以高列式计算即可得解．
本题考查了菱形的性质，解直角三角形，根据根据菱形的四条边都相等求出菱形的边长是解题的关键，利用∠A的余弦设AE=3x，AD=5x使求解更加简便．

16.【答案】192 
【解析】解：在△AHE和△DHG中，
∵AH=DH=12AD，∠A=∠D=90°，AE=DG=12AB，
∴△AHE≌△DHG，
∴EH=GH，
同理EH=GH=GF=EF，
即四边形EFGH为菱形．
又∵四边形EFGH的周长是40cm，
∴EH=10．
∵AH：AE=4：3，
设AH=4x，则AE=3x．
由勾股定理得，EH2=AE2+AH2，
∴x=2，AH=8，AE=6，
∴矩形ABCD的面积=16×12=192(cm2).
由题意知，△AEH，△DHG，△CGF，△EFB是全等三角形，所以EH=HG=FG=EF，即四边形EFGH为菱形，四边形EFGH的周长是40cm，可知边长为10，根据勾股定理可求得AH和AE，即AD和AB的值就可求出，从而求矩形面积．
本题考查了矩形、菱形的性质及勾股定理，有一定难度．

17.【答案】解：∵AC=8，BC=6，
∴由勾股定理得AB=10，
由折叠可得AD=BD=5，AE=BE，
设CE=x，则BE=AE=8−x，
所以(8−x)2=62+x2，
解得x=74，
∴tan∠CBE=CEBC=746=724． 
【解析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握翻折变换，勾股定理的计算，根据已知及翻折变换，勾股定理的计算，求出tan∠CBE的值．

18.【答案】解：(1)过点C作CE//AB交AD的延长线于点E
∵CE//AB
∴△ABD∽△ECD
∴BDDC=ADDE
∵BD=2DC
∴2DCDC=2DE
∴DE=1
∵CE//AB
∴∠E=∠BAD=75∘
∵∠CAD=30∘
∴∠ACE=75∘
∴∠E=∠ACE
∴AC=AE=AD+DE=2+1=3

(2)如图，过点D作DF⊥AC于点F

∵∠BAC=90∘=∠DFA
∴AB//DF
∴△ABE∽△FDE
∴ABDF=AEEF=BEDE=2
∴EF=1，AB=2DF
在△ACD中，∠CAD=30∘
∠ADC=75∘
∴∠ACD=75∘，AC=AD
∵DF⊥AC
∴∠AFD=90∘
在△AFD中，AF=AE+EF=2+1=3
∠FAD=30∘
∴DF=AFtan30∘=3×13=3，AD=2DF=23
∴AC=AD=23，AB=2DF=23
∴BC=AB2+AC2=(23)2+(23)2=26． 
【解析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数解直角三角形，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
(1)过点C作CE//AB交AD的延长线于点E，根据相似三角形的判定与性质及平行线的性质求解；
(2)如图，过点D作DF⊥AC于点F，根据相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义求解．

19.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，
∵E，F分别是BC，AD中点，
DF=12DA，BE=12CB，
∴DF=BE，
∵AB=DC，∠B=∠D，
∴△ABE≌△CDF．

(2)解法一、过A作AH⊥BC于H，
∵BC=2AB=4，且△ABE的面积为3，
∴BE=AB=2，12×EB×AH=3，
∴AH=3，
∴sinB=32，
∴∠B=60°，
∴AB=BE=AE，
∵E，F分别是BC，AD中点，
∴AF=CE=AE，
∵△ABE≌△CDF，
∴CF=AE，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AECF是菱形．
解法二、过A作AH⊥BC于H，
∵BC=2AB=4，且△ABE的面积为3，
∴BE=AB=2，12×EB×AH=3，
∴AH=3，
∴由勾股定理得：BH=1，
HE=2−1=1=BH，
∵AH⊥BE，
∴AB=AE=BE，
∵E，F分别是BC，AD中点，
∴AF=CE=AE，
∵△ABE≌△CDF，
∴CF=AE，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AECF是菱形 
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，推出DF=BE，根据SAS即可推出答案；
(2)过A作AH⊥BC于H，根据三角形的面积求出AH，根据锐角三角函数求出∠B，得出等边三角形AEB，推出AE=BE=AB，推出AF=CF=CE=AE即可．
本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形的面积，锐角三角函数的定义，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．

20.【答案】解：
∵AB=AC，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ADB，∠ABC=12(180∘−∠BAC)=90∘−12∠BAC，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90∘−∠CAD，
∴12∠BAC=∠CAD，
∴∠CAD=∠FBC=12∠BAC，
∵DF=DC，
∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠FBC，
∴CB=CF，
又BD⊥AC，
∴AC是线段BF的中垂线，
∴AB=AF=10，AC=10．
又BC=45，设AE=x，CE=10−x，
则AB2−AE2=BC2−CE2，即100−x2=80−(10−x)2，解得x=6，
∴AE=6，BE=8，CE=4，
∵△DEC∽△AEB，
∴DE=AE⋅CEBE=6×48=3，
作DH⊥AB，垂足为点H，

∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠AEB=90∘，
∴△DBH∽△ABE，
∵DBAB=BHBE=DHAE，
∴1110=BH8=DH6，
∴BH=445，DH=335，
∴AH=AB−BH=10−445=65，
∴tan∠BAD=DHAH=3356=112，
 
【解析】见答案

21.【答案】(1)解：过点D作DN⊥x轴于点N，
令y=0，得：ax2−2ax−3a=0，
 ∵a>0，
 ∴x2−2x−3=0，
解得： x1=3,x2=−1 ，
∴A(−1,0),B(3,0)，
将 B(3,0)代入 y=−33x+b，
解得： b=3，
 ∴y=−33x+3；  
∴E(3,0)，易证得△BOE∽△BND，
 ∴OEND=BOBN=BEBD，
又 ∵DEBE=23,
∴BEBD=35，
 ∴BN=5,DN=533，
 ∴D(−2,533)，
将点 D(−2,533)代入y=ax2−2ax−3a，
解得 a=33，
∴y=33x2−233x−3；

(2)由题意，动点M运动的路径为折线AM+MD，运动时间：t=AM+12DM，由题意可知∠ABD=30°，可转化12DM为DM投影到y轴的线段长，如图，过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点P，则点P即为所求．
∵直线BD的解析式为y=−33x+3，∴∠PBA=∠PDG=30°，
∵AB=4，
∴AP=433，
∴点P的坐标为 (−1,433).        
  (3)解：由题意易得△ACB为直角三角形，BC=23，AB=4，AC=2，
OC=OE=3，∴∠ACB=90°，∠ABC=∠EBO=30°，
将△ABC绕点B顺时针旋转 α(0°< α<180°)，
当点A的对应点A′落在△ECB的边所在直线上时分以下三种情况：
  (i)如图，

当点A的对应点A′落在BE边所在直线上时，BC′=BC=23，
可求得点C′的坐标为C1′(3−23,0);
(ii)如图，过点C′作C′H垂直x轴，过A′作A′F垂直C′H，

当点A的对应点A′落在EC边所在直线上时，AB=A′B=4，A′O=7，
△A′FC′∽△C′HB，
∴C′HA′F=BHFC′=BC′A′C′=3，
∴C′H=3A′F，BH=3+OH=3FC′=3(A′O−C′H)，
∴OH=21−34，
可求得点C′的坐标为C2′(3−214,37−334);
 (iii)如图，

当点A的对应点A′落在BC边所在直线上时，
在Rt△BC′H中，由BC′=BC= 23，∠C′BH=60°，
可用锐角三角函数求得C′H=3，BH=3，
可求得点C′的坐标为C3′(3+3,3)；
综上所述：当点A的对应点A′落在△ECB的边所在直线上时，对应的点C′的坐标为(3−23,0)或(3−214,37−334)或(3+3,3). 
【解析】本题考查一次函数的图像，性质和用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图像，性质和用待定系数法求二次函数的解析式，平面直角坐标系中点坐标，相似三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值，解直角三角形，旋转的性质，分类讨论的数学思想．
(1)首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得a的值;
(2)由题意，动点M运动的路径为折线AM+MD，运动时间：t=AM+12DM，由题意可知∠ABD=30°，可转化12DM为DM投影到y轴的线段长，如图，过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点P，则点P即为所求，进而根据直线BD的表达式得到角的度数，求出AP的长，即可得解；
(3)将△ABC绕点B顺时针旋转 α(0°< α<180°)，当点A的对应点A′落在△ECB的边所在直线上时分以下三种情况：
(i)如图，当点A的对应点A′落在BE边所在直线上时；
(ii)如图，当点A的对应点A′落在EC边所在直线上时，
(iii)如图，当点A的对应点A′落在BC边所在直线上时，
利用解直角三角形即可解答．

22.【答案】解：(1)过点D作DH⊥AB交BA的延长线于H，如图：

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=6，
∵∠BAD=120°，
∴∠DAH=60°，
在Rt△ADH中，DH=AD⋅sin∠DAH=6×32=33，AH=AD⋅cos∠DAH=6×12=3，
∴BD=DH2+BH2=(33)2+(6+3)2=63；
(2)①设CE⊥AB交AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，如图：

菱形ABCD中，∵AB=BC=CD=AD=6，AD//BC，∠BAD=120°，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠ABC=180°−∠BAD=60°，
在Rt△BCM中，BM=BC⋅cos∠ABC=6×12=3，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴∠DBA=12∠ABC=30°，
在Rt△BEM中，ME=BM⋅tan∠EBM=3×33=3，BE=BMcos⁡∠EBM=332=23，
∵BE=3DF，
∴DF=2，
∴AF=AD−DF=4，
在Rt△AFN中，∠FAN=180°−∠BAD=60°，
∴FN=AF⋅sin∠FAN=4×32=23，AN=AF⋅cos∠FAN=4×12=2，
∴MN=AB+AN−BM=6+2−3=5，
∴S四边形ABEF=S△BEM+S梯形EMNF−S△AFN
=12EM⋅BM+12(EM+FN)⋅MN−12AN⋅FN
=12×3×3+12×(3+23)×5−12×2×23
=323+1523−23
=73；
②当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+3CF的值是最小．
理由：设DF=x，则BE=3DF=3x，过点C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥CH于点G，
过点E作EY⊥CH于点Y，作EM⊥AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，如图：

∴EY//FG//AB，FN//CH，
∴四边形EMHY、FNHG是矩形，
∴FN=GH，FG=NH，EY=MH，EM=YH，
由①可知：ME=12BE=32x，BM=32BE=32x，
AN=12AF=12(AD−DF)=3−12x，FN=32AF=63−3x2，
CH=32BC=33，BH=12BC=3，
∴AM=AB−BM=6−32x，AH=AB−BH=3，YH=ME=32x，GH=FN=63−3x2，
EY=MH=BM−BH=32x−3，
∴CY=CH−YH=33−32x，
FG=NH=AN+AH=6−x2，CG=CH−GH=33−63−3x2=32x，
∴MN=AB+AN−BM=6+3−12x−32x=9−2x，
∴S四边形ABEF=S△BEM+S梯形EMNF−S△AFN
=12EM⋅BM+12(EM+FN)⋅MN−12AN⋅FN
=12×32x×32x+12(32x+63−3x2)⋅(9−2x)−12(3−12x)⋅63−3x2
=34x2−332x+93
=34(x−3)2+2734，
∵34>0，
∴当x=3时，四边形ABEF的面积取得最小值．

解法一：CE+3CF=CY2+EY2+3⋅FG2+CG2
=(33−32x)2+(32x−3)2+3×(6−12x)2+(32x)2
=27−9x+34x2+94x2−9x+9+3×36−6x+14x2+34x2
=3x2−18x+36+3×36−6x+x2
=3(x−3)2+9+3(x−3)2+81，
∵(x−3)2≥0，当且仅当x=3时，(x−3)2=0，
∴CE+3CF=3(x−3)2+9+3(x−3)2+81≥12，
当且仅当x=3时，CE+3CF=12，即当x=3时，CE+3CF的最小值为12，
∴当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+3CF的值也最小，最小值为12．
解法二：
如图：将△BCD绕点B逆时针旋转60∘至△BAG，连接CG，
在Rt△BCG中，CG=2BC=12，

∵BEDF=BGDC=31，∠CDF=∠GBE=60∘，
∴△BEG∽△DFC，
∴GECF=BGDC=31，即GE=3CF，
∴CE+3CF=CE+GE≥CG=12，
即当且仅当点C、E、G三点共线时，CE+3CF的值最小，
此时点E为菱形对角线的交点，BD中点，BE=33，DF=3，
∴当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+3CF的值也最小，最小值为12． 
【解析】本题是四边形综合题，考查了菱形性质、解直角三角形、割补法求不规则图形面积、二次函数的顶点式及最值等知识点，也考查了从特殊到一般的数学思想和转化思想，难度较大，计算繁琐，解题关键是熟练掌握二次函数性质，是中考常考题型．
(1)过点D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据菱形中120°的内角得邻补角是60°，利用三角函数即可解答；
(2)①设CE⊥AB交AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，因为利用求解S四边形ABEF=S△BEM+S梯形EMNF−S△AFN，所以先解直角三角形求出上面求各部分面积需要的边长即可解答；
②设DF=x，则BE=3DF=3x，过点C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥CH于点G，过点E作EY⊥CH于点Y，作EM⊥AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，所以四边形EMHY、FNHG是矩形，对边相等，方法同①，用含x的式子表示计算面积需要的各边长并代入到S四边形ABEF=S△BEM+S梯形EMNF−S△AFN中，根号里面化简、合并、配成二次函数的顶点式即可求出最值，从而解答．

23.【答案】解：(1)连接DF，CE，如图所示：
，
∵E为AB中点，
∴AE=AF=12AB，
∴EF=AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EF=AB=CD，CD//EF，
∴四边形DFEC是平行四边形．
(2)作CH⊥BH，设AE=FA=m，如图所示，
，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD//EF，
∴△CDG∽△FEG，
∴CDCG=EFFG，
∴FG=EF=2m，
在Rt△CBH中，∠CBH=60°，BC=2，
∴∠BCH=30°，
∴BH=1，CH=3，
在Rt△CFH中，CF=2+2m，CH=3，FH=3+m，
CF2=CH2+FH2，
即(2+2m)2=(3)2+(3+m)2，
整理得：3m2+2m−8=0，
解得：m1=43，m2=−2(舍去)，
∴AE=43．
(3)因E点沿线段AB运动，F点沿线段BA的延长线运动，并且CD//AB，线段ED与线段CF的交点G点运动轨迹为线段AG，运动刚开始时，A、E、F、G四点重合，当E点与B点重合时，G点运动到极限位置，所以G点轨迹为线段AG．
如图所示，作GH⊥AB，

∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，AB=2，
∴CD//BF，BD=2，
∴△CDG∽△FBG，
∴CDBF=DGBG，即BG=2DG，
∵BG+DG=BD=2，
∴BG=43，
在Rt△GHB中，BG=43，∠DBA=60°，
∴∠HGB=30°，
∴BH=23，GH=233，
在Rt△AHG中，AH=2−23=43，GH=233，
AG2=(43)2+(233)2=289，
∴AG=273．
∴G点运动路径的长度为273． 
【解析】
【分析】
本题主要考查平行四边形的判定，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据题意表示出相关线段的长度是解题的关键..
(1)利用平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
(2)作CH⊥BH，设AE=FA=m，利用三角形相似，求出此时FG的长，进而表示出相关线段的长度，再在Rt△CFH中，利用勾股定理求解即可，
(3)连接AG，作GH⊥AB，分析出点G的运动路径是线段AG，先在Rt△GHB中，求出BH=23，GH=233，再在Rt△AHG中，利用勾股定理求出AG的长度即可．  
24.【答案】解：(1)如图，过点C作CF⊥DE于点F，

∵CD=CE=5cm，∠DCE=40°．
∴∠DCF=20°，
∴DF=CD⋅sin20°≈5×0.34≈1.7(cm)，
∴DE=2DF≈3.4cm，
∴线段DE的长约为3.4cm；
(2)∵横截面是一个轴对称图形，
∴延长CF交AD、BE延长线于点G，
连接AB，
∴DE//AB，
∴∠A=∠GDE，
∵AD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠GDF+∠FDC=90°，
∵∠DCF+∠FDC=90°，
∴∠GDF=∠DCF=20°，
∴∠A=20°，
∴DG=DFcos20∘≈1.70.94≈1.8(cm)，
∴AG=AD+DG=10+1.8=11.8(cm)，
∴AB=2AG⋅cos20°≈2×11.8×0.94≈22.2(cm)．
∴点A，B之间的距离22.2cm． 
【解析】(1)过点C作CF⊥DE于点F，根据等腰三角形的性质可得∠DCF=20°，利用锐角三角函数即可解决问题；
(2)根据横截面是一个轴对称图形，延长CF交AD、BE延长线于点G，连接AB，所以DE//AB，根据直角三角形两个锐角互余可得∠A=∠GDE=20°，然后利用锐角三角函数即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．

25.【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，
∴∠C=180°−∠BAD=90°，∠ABC+∠ADC=180°．
作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则四边形CDFE是矩形，EF=CD=10．

在Rt△AEB中，
∵∠AEB=90°，AB=17，cos∠ABC=35，
∴BE=AB⋅cos∠ABE=515．
∴AE=AB2−BE2=685．
∴AF=AE−EF=685−10=185．
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF=90°，
∴∠ABC+∠ADF=90°．
∵cos∠ABC=35，
∴sin∠ADF=cos∠ABC=35．
在Rt△ADF中，
∵∠AFD=90°，sin∠ADF=35，
∴AD=AFsin∠ADF=18535=6． 
【解析】本题考查了圆内接四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，求出AF=185以及sin∠ADF=35是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补得出∠C=90°，∠ABC+∠ADC=180°.作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=10.解Rt△AEB，得出BE=AB⋅cos∠ABE=515，AE=AB2−BE2=685，那么AF=AE−EF=185.再证明∠ABC+∠ADF=90°，根据互余角的互余函数相等得出sin∠ADF=cos∠ABC=
35.解Rt△ADF，即可求出AD=AFsin∠ADF=6．