浙教版初中数学九年级下册第一单元《解直角三角形》（标准难度）（含答案解析） 试卷

浙教版初中数学九年级下册第一单元《解直角三角形》（标准难度）（含答案解析）

考试范围：第一单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，在中，，，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，连接交于点若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在中，延长斜边到点，使，连接，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在实数，，，中，无理数的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，下列三角函数值错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，是平面镜，光线从点出发，经上点反射后照射到点若入射角为，，，垂足分别为点，，且，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在中，，，的平分线交于点，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.   如图，若锐角内接于，点在外与点在同侧，则下列三个结论：；；中，正确的结论为(    )
 

A. ； B. ； C. ； D. ；

9.  某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆的长为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

10.  如图，在中，，，于点，若，分别为，的中点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，一块矩形木板斜靠在墙边，点，，，，在同一平面内，已知，，，则点到的距离等于(    )
 

A.  B.  C.  D.

12.  如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点处，测得河的北岸边点在其北偏东方向然后向西走米到达点，测得点在点的北偏东方向，则这段河的宽度为(    )

A. 米 B. 米
C. 米 D. 米

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  在中，，，，则的值是          ．

14.  在菱形中，，垂足是，，，则菱形的周长是          ．
 

15.  若锐角满足且，则的范围是          ．

16.  如图，在中，，如果的半径为，且经过点，，那么线段          ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，的半径，于点，．
求弦的长．
求的长．

18.  本小题分

如图，在矩形中，点在边上，将矩形沿直线折叠，点恰好落在边的点处．若，，求的值．

19.  本小题分

如图，在矩形中，，，是的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连接，求的值．

20.  本小题分
如图，是的高，，，求可以使用计算器，精确到．
 

21.  本小题分

如图，将矩形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若，求的值．

22.  本小题分
从一个半径为的圆片中裁下一个垫片，如图中阴影部分已知，求垫片的面积精确到
 

23.  本小题分
如图，我国某海域有，两个港口，相距海里，港口在港口的东北方向，点处有一艘货船，该货船在港口的北偏西方向，在港口的北偏西方向，求货船与港口之间的距离．结果保留根号
 

24.  本小题分
图是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中底盒固定在地面下，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图是其示意图，经测量，钢条，．
求车位锁的底盒长．
若一辆汽车的底盘高度为，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？
参考数据：，，
 

25.  本小题分

如图，小明从处出发，沿北偏东方向以的速度步行后到达处，接着向正南方向步行一段时间后到达终点处，在处观测到出发时所在的处在北偏西方向上．求小明步行的总路程精确到参考数据：，，，，．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了锐角三角函数的定义，正确记忆相关比例关系是解题关键．
先根据勾股定理求出，再根据三角函数的定义分别求解可得．

【解答】

解：在中，，，，
，
A、，故该选项不符合题意；

B、，故该选项不符合题意；

C、，故该选项不符合题意；

D、，故该选项符合题意；

故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形． 
连接，如图，先利用圆周角定理证明得到，再根据正弦的定义计算出，则，，接着证明∽，利用相似比得到，所以，然后在中利用正弦定义计算出的长．
【解答】
解：连接，如图，
为直径，
，
，
，
而，
，
，
，
而，
，
，
，
在中，，
，
，，
，，
∽，
：：，即：：，
，
，
在中，，
．
故选C．  

3.【答案】 

【解析】解法：由，设，，如图，过点作交于点，则，．

，，

，

．

解法：如图，延长，过点作，垂足为．

，即，

设，则．

，，∽，

，

，，

，

．

4.【答案】 

【解析】先把化为的形式，再根据无理数的定义进行解答．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义及其增减性，计算时要将锐角置于直角三角形中并要充分利用格点．根据锐角三角函数的定义，将放在直角三角形中，分别计算，，，可判断、、，再根据锐角正切函数的增减性可判断．
【解答】
解：如图，过点作于．

在中，，，，
，
，故A正确，不符合题意；
，故B正确，不符合题意；
，故C正确，不符合题意；
，，
，故D错误，符合题意．
故选D．  

6.【答案】 

【解析】略
 

7.【答案】 

【解析】略
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义、锐角三角形函数的增减性，解决本题的关键是比较出．
连接，根据圆周角定理，可得，因为，所以，所以，根据锐角三角函数的增减性，即可判断．
【解答】解：如图，设与圆的交点为，连接，

根据圆周角定理，可得，
，
，
，
锐角三角函数的增减性，可得，故正确
，故错误
，故正确．
故选D．  

9.【答案】 

【解析】解：作于点，则，

，
，
解得，米，
故选：．
根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出的长．
本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
，
，
，
，分别为，的中点，
．
故选：．
由等腰直角三角形的性质求出，由锐角三角函数的定义求出，由三角形的中位线定理可求出答案．
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，锐角三角函数，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
作交的延长线于点，在直角三角形和直角三角形中解直角三角形可求出点到的距离．
此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线将点到的距离转化为线段的长．
【解答】
解：如图，作交的延长线于点，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点、点到的距离相等，
点到的距离等于，
故选：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题．
过点作交的延长线于，设米，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出方程，解方程即可．

【解答】

解：过点作交的延长线于，

设米，
，
米，
，
米，
米，
，
解得米，
答：这段河的宽度为米．

13.【答案】 

【解析】，，，

，

．

14.【答案】 

【解析】解：，，
在中，，
，
则菱形的周长为：．
故答案为：．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

此题主要考查了特殊角的三角函数值以及锐角三角函数关系的增减性，正确记忆相关数据是解题关键．
直接利用特殊角的三角函数值结合锐角三角函数的增减性，得出答案．
【解答】

解：，且，
，
，且，
，
，且，
．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查锐角三角函数、勾股定理垂直平分是解题的关键，根据勾股定理可解此题．
【解答】
解：连接，设与交于点，

根据题意，得垂直平分
，
根据勾股定理得：
，
故答案为：．  

17.【答案】解：的半径，于点，，
，
；
，，
，
，
的长是：． 

【解析】本题考查弧长的计算以及锐角三角函数的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据锐角三角函数的定义，可以求得的长，然后即可得到的长；
根据，可以得到的度数，然后根据弧长公式计算即可．
 

18.【答案】解：由折叠性质得，
在中，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即
，
，
． 

【解析】见答案
 

19.【答案】解：四边形是矩形，
．
是的中点，，
．
．
由翻折的性质得，，
．
．
，
．
． 

【解析】见答案
 

20.【答案】解：，
，
在中，，
在中，，
． 

【解析】本题考查计算器三角函数，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础题型．
在中，求出，再在中，利用正切函数的定义求出．
 

21.【答案】解：四边形是矩形，
，，
将矩形沿折叠，点恰好落在边的处，
，
，
，
设，，
，
 ，
故答案为：． 

【解析】此题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理．此题比较简单，注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．由矩形沿折叠，点恰好落在边的处，即可得，，由，可得，然后设，，利用勾股定理即可求得的值，继而求得的值．
 

22.【答案】解：设圆心为，连接、，作于，如图：

由题意得：，
则圆的面积，
，，
，
，，
解得：，
，
扇形的面积，的面积，
垫片的面积

答：垫片的面积约．

【解析】本题考查了垂径定理、勾股定理、扇形面积公式、三角函数定义等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
设圆心为，连接、，作于，由垂径定理得出，由勾股定理得出，由三角函数定义求出，得出，求出扇形和的面积，进而得出答案．
 

23.【答案】解：过点作于，如图所示：

由题意，得．
，
，
在中，，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
海里．
答：货船与港口之间的距离是海里． 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用方位角问题、等腰直角三角形的判定与性质等知识；通过作辅助线得出直角三角形是解题的关键．
过点作于，求出，在中，，求出，求出，则是等腰直角三角形，得出海里即可．
 

24.【答案】解：过点作于点，

，
，
在中，，，
，
．
在中，
，
，
当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位． 

【解析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义．
过点作于点，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
根据锐角三角函数的定义求出的长度即可判断．
 

25.【答案】解：作于点，如图，

，
由题意可得：，，，
，，
．
答：小明步行的总路程． 

【解析】本题考查的是解直角三角形的应用有关知识，作于点可得，然后再利用锐角三角形函数的定义计算出，，最后利用计算即可．