高中人教A版 (2019)4.3 等比数列精练

课时跟踪检测 （七）  等比数列的概念及通项公式

1．[多选]下列说法中不正确的是(　　)

A．等比数列中的某一项可以为0

B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)

C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1

D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列

解析：选ABD　对于A，因为等比数列中的各项都不为0，所以A不正确；对于B，因为等比数列的公比不为0，所以B不正确；对于C，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确；对于D，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以D不正确．故选A、B、D.

2．已知等比数列{an}满足：a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝(　　)

A．64  B.81

C．128  D.243

解析：选A　设等比数列{an}的公比为q，由题知a2＋a3＝a1q＋a2q＝q(a1＋a2)＝6，

又因为a1＋a2＝3，所以q＝2，a1＝1，

所以a7＝a1·q6＝26＝64.

3．等差数列{an}中，d＝2，且a1，a3，a4成等比数列，则a2＝(　　)

A．－4  B.－6

C．－8  D.－10

解析：选B　由题知a1＝a2－d＝a2－2，a3＝a2＋d＝a2＋2，a4＝a2＋2d＝a2＋4.

因为a1，a3，a4成等比数列，

所以a＝a1·a4，

即(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，

解得a2＝－6.

4．(2020·温州中学月考)已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q＝(　　)

A．1或－  B.1

C．－  D.－2

解析：选A　由题意，可知2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q.∴a1≠0，∴2q2＝1＋q，∴q＝1或－.

5．若数列{an}满足an＋1＝4an＋6(n∈N*)且a1＞0，则下列数列中是等比数列的是(　　)

A．{an＋6}  B.{an＋1}

C．{an＋3}  D.{an＋2}

解析：选D　由an＋1＝4an＋6可得an＋1＋2＝4an＋8＝4(an＋2)，因此＝4，又a1＞0，所以an＞0，从而an＋2＞0(n∈N*)，故{an＋2}是等比数列．

6．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋2a2＝4，a＝4a3a7，则a5＝________.

解析：设公比为q，则由题意，得所以所以a5＝2×4＝.

答案：

7．已知等比数列{an}中的前三项为a,2a＋2,3a＋3，则实数a的值为________．

解析：因为2a＋2为等比中项，所以(2a＋2)2＝a(3a＋3)，

整理得a2＋5a＋4＝0，解得a＝－1或a＝－4.

但当a＝－1时，第二、三项均为零，

故a＝－1应舍去，

综上，a＝－4.

答案：－4

8．在7和56之间插入a，b两数，使7，a，b,56成等差数列，插入c，d两数，使7，c，d,56成等比数列，则a＋b＋c＋d＝________.

解析：∵7，a，b,56成等差数列，

∴a＋b＝7＋56＝63.

∵7，c，d,56成等比数列，

∴公比q3＝＝8.

∴q＝2.∴c＝14，d＝28.

∴c＋d＝42.∴a＋b＋c＋d＝105.

答案：105

9．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an－2)＝5an－1，求数列{an}的通项公式．

解：设数列{an}的公比为q.

∵a＝a10,2(an＋an－2)＝5an－1，

∴

由①，得a1＝q，

由②，得q＝2或q＝，

又数列{an}为递增数列，

∴a1＝q＝2，∴an＝2n.

10．已知数列的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)．

(1)求a1，a2；

(2)求证：数列是等比数列．

解：(1)由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)．

所以a1＝－.又S2＝(a2－1)，

即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.

(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝(an－1)－(an－1－1)，

得＝－，又a1＝－，

所以是首项为－，公比为－的等比数列．

1．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，＝a11，则k＝(　　)

A．12  B.15

C．18  D.21

解析：选D　＝a1q＝a1q＝a1q10，∵a1＞0，q≠1，∴＝10，∴k＝21，故选D.

2．(2020·哈尔滨六中高三月考)明代朱载堉对文艺的最大贡献是创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均律”是指一个八度有十三个单音，相邻两个单音之间的频率之比相等，且最后一个单音的频率是第一个单音的频率的2倍，设第二个单音的频率为f2，第八个单音的频率为f8，则等于(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选A　依题意知，十三个单音的频率构成等比数列，记为{an}，设公比为q，则a13＝a1q12，且a13＝2a1，∴q＝2，

∴＝＝q6＝＝.

3．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，S2＝8，S4＝32，数列{bn}为等比数列，且b1＝a1，b2(a2－a1)＝b1，则{bn}的通项公式为bn＝________.

解析：设公差为d，公比为q，

由已知得∴

又∵b2(a2－a1)＝b1，

∴q＝＝＝＝.∴bn＝2×n－1.

答案：2×n－1

4．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝.

(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项公式．

(2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．

解：(1)证明：∵2an＝3an＋1，∴＝，

故{an}是等比数列，且其公比为.

∵a1q·a1q4＝，∴a＝，又a1＜0，

∴a1＝－，∴an＝n－1＝－n－2.

(2)由(1)的结论，令－＝－n－2，

得4＝n－2，

解得n＝6，为正整数，则－是该数列的第6项．

5．设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列．

(1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列；

(2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由．

解：(1)证明：因为＝2an＋1－an＝2d(n＝1,2,3)是同一个常数，所以2a1，2a2，2a3，aa4依次构成等比数列．

(2)令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d(a＞d，a＞－2d，d≠0)．

假设存在a1，d使得a1，a，a，a依次构成等比数列，

则a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4.

令t＝，则1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)6＝(1＋2t)4，化简得t3＋2t2－2＝0　(*)，且t2＝t＋1.

将t2＝t＋1代入(*)式，得t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，则t＝－.

显然t＝－不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，

因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列．