高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列课时训练

课时跟踪检测 （六）  等差数列前n项和的性质及应用

1．一个等差数列共有10项，其奇数项之和是，偶数项之和是15，则它的首项与公差分别是(　　)

A．，  B．，1

C．1，  D．，2

解析：选A　设等差数列为{an}，首项为a1，公差为d，由S偶－S奇＝5d＝15－＝，得d＝.再由S10＝10a1＋×＝15＋，得a1＝.

2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于(　　)

A．36  B.18

C．72  D.9

解析：选A　由S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列知，S18＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋…＋(S18－S15)＝＝36.

3．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn′，如果＝(n∈N*)，则的值是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C　由等差数列前n项和的性质，得

＝＝＝＝＝＝.

4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4≠0，且S8＝3S4，设S12＝λS8，则λ＝(　　)

A.  B.

C．2  D.3

解析：选C　∵Sn是等差数列{an}的前n项和，

若S4≠0，且S8＝3S4，S12＝λS8，

∴由等差数列的性质得

S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，

∴2(S8－S4)＝S4＋(S12－S8)，

∴2(3S4－S4)＝S4＋(λ·3S4－3S4)，

解得λ＝2.故选C.

5．在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)

A．S15  B.S16

C．S15或S16  D.S17

解析：选A　∵a1＝29，S10＝S20，

∴10a1＋d＝20a1＋d，解得d＝－2.

∴Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.

∴当n＝15时，Sn取得最大值．

6．(2020·深圳中学月考)已知数列{an}为等差数列，a3＝7，a1＋a7＝10，Sn为其前n项和，则使Sn取到最大值的n＝________.

解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得

故d＝a4－a3＝－2，an＝a3＋(n－3)d＝7－2(n－3)＝13－2n.令an＞0，得n＜6.5.所以在等差数列{an}中，其前6项均为正，其他各项均为负，于是使Sn取到最大值的n的值为6.

答案：6

7．已知等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＝10，a13＋a14＋a15＋a16＝70，则数列{an}的前16项和等于________．

解析：根据等差数列的性质，可知a1＋a2＋a3＋a4，a5＋a6＋a7＋a8，a9＋a10＋a11＋a12，a13＋a14＋a15＋a16构成等差数列，则a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝a1＋a2＋a3＋a4＋a13＋a14＋a15＋a16＝80，所以数列{an}的前16项和等于160.

答案：160

8．在等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，则满足Sn＜0的n的最大值为________．

解析：因为a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，

所以a11＞－a10，a1＋a20＝a10＋a11＞0，

所以S20＝＞0.

又因为a10＋a10＜0，

所以S19＝＝19a10＜0，

故满足Sn＜0的n的最大值为19.

答案：19

9．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n.

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)求Sn的最小值及对应的n值．

解：(1)∵Sn＝2n2－30n，

∴当n＝1时，a1＝S1＝－28.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－30n)－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.

又a1＝－28满足此式，

∴an＝4n－32，n∈N*.

(2)法一：∵Sn＝2n2－30n＝22－，

∴当n＝7或8时，Sn最小，且最小值为S7＝S8＝－112.

法二：∵an＝4n－32，∴a1＜a2＜…＜a7＜0，a8＝0，

当n≥9时，an＞0，

∴当n＝7或8时，Sn最小，且最小值为S7＝S8＝－112.

10．某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.

(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数.

(2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？

解：(1)由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列{an}，所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋(10－1)×40＝400.

从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390.

(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为

S10＝＝2 200，

9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列{bn}，

又b20＝390－10×19＝200，

所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为

T20＝＝5 900，

所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100(人)．

1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－2 017，－＝2，则S2 019的值为(　　)

A．2 019  B.－2 019

C．2 018  D.－2 018

解析：选A　因为Sn为等差数列{an}的前n项和，所以数列是等差数列．设数列的公差为d′，则由－＝2，得2d′＝2，解得d′＝1，所以＝＋2 018d′＝a1＋2 018d′＝－2 017＋2 018＝1，所以S2 019＝2 019.

2．已知等差数列{an}的公差d＞0，前n项和为Sn，则n≥2时有(　　)

A．a1＜＜an

B.＜a1＜an

C．a1＜an＜

D．a1，，an的大小关系不确定

解析：选A　由数列{an}为等差数列，知Sn＝na1＋，即＝a1＋，因为an＝a1＋(n－1)d，d＞0，n≥2，所以(n－1)d＞＞0，所以a1＜＜an，故选A.

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则正整数m＝________.

解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以数列是等差数列，所以＋＝，即＋＝0，解得m＝4.

答案：4

4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0.

(1)求公差d的取值范围；

(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．

解：(1)依题意

即

由a3＝12，得a1＋2d＝12.　　　　　　　　　　　③

将③分别代入①②，得

解得－<d<－3.

故公差d的取值范围为.

(2)由d<0可知{an}是递减数列，

由于S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，可得a6>0，a7<0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．

5．设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.

(1)若首项a1＝，公差d＝1，求满足Sk2＝(Sk)2的正整数k；

(2)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有Sk2＝(Sk)2成立．

解：(1)法一：由题意知，Sn＝n＋×1＝n2＋n，

则Sk2＝k4＋k2＝(Sk)2＝2，

从而k4－k3＝0，k∈N*，解得k＝4.

法二：数列{an}为等差数列，不妨设Sn＝An2＋Bn，其中A＝，B＝a1－，则Sk2＝A(k2)2＋Bk2，Sk＝Ak2＋Bk，

由Sk2＝(Sk)2可得k2(Ak2＋B)＝k2(Ak＋B)2.

考虑到k为正整数，从而Ak2＋B＝A2k2＋2ABk＋B2，

即(A2－A)k2＋2ABk＋(B2－B)＝0.

又A＝＝，B＝a1－＝1，

所以k2－k＝0，又k≠0，从而k＝4.

(2)由(1)可知k2[(A2－A)k2＋2ABk＋(B2－B)]＝0，

考虑到对一切正整数k都有Sk2＝(Sk)2成立，

只需解得或或

又A＝，B＝a1－，

从而可得或或

故满足题意的无穷等差数列有：①0,0,0,0，…；②1,3,5,7，…；③1,1,1,1，….