高中数学4.2 等差数列课堂检测

课时跟踪检测 （四）  等差数列的性质及应用

1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5＝(　　)

A．5  B.6

C．8  D.9

解析：选A　由等差中项的性质得a1＋a9＝2a5＝10，所以a5＝5.

2．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(　　)

A．5  B.8

C．10  D.14

解析：选B　法一：设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.

法二：由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.

3．已知数列{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝π，则cos(a2＋a8)的值为(　　)

A．－  B.－

C.  D.

解析：选A　∵数列{an}为等差数列，a1＋a5＋a9＝π，

∴a1＋a5＋a9＝3a5＝π，解得a5＝，

∴a2＋a8＝2a5＝，

∴cos(a2＋a8)＝cos ＝－cos ＝－.故选A.

4．在等差数列{an}中，a2 016＝log27，a2 022＝log2 ，则a2 019＝(　　)

A．0  B.7

C．1  D.49

解析：选A　∵数列{an}是等差数列，∴由等差数列的性质可知2a2 019＝a2 016＋a2 022＝log27＋log2＝log21＝0，故a2 019＝0.

5．在等差数列{an}中，若a1，a2 019为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a2＋a1 010＋a2 018＝(　　)

A．10  B.15

C．20  D.40

解析：选B　因为a1，a2 019为方程x2－10x＋16＝0的两根，所以a1＋a2 019＝10.由等差数列的性质可知，a1 010＝＝5，a2＋a2 018＝a1＋a2 019＝10，所以a2＋a1 010＋a2 018＝10＋5＝15.故选B.

6．某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多写________个大字．

解析：由题意可知，此人每天所写大字数构成首项为4，第三项为12的等差数列，即a1＝4，a3＝12，所以d＝＝4.

答案：4

7．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.

解析：由{an}，{bn}都是等差数列可知{an＋bn}也是等差数列，设{an＋bn}的公差为d，

所以a3＋b3＝(a1＋b1)＋2d，

则2d＝21－7，即d＝7.

所以a5＋b5＝(a1＋b1)＋4d＝35.

答案：35

8．在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在数列{an}中每相邻两项之间插入一个数，使之成为新的等差数列，那么新的等差数列的公差是________．

解析：法一：设新的等差数列的公差为d.

由a1＝8，a5＝2，得a3＝＝＝5，a2＝＝＝，所以d＝＝＝－.

法二：设新的等差数列为{bn}，其公差为d，则b1＝a1＝8，b9＝a5＝2，所以d＝＝＝－.

答案：－

9．首项为a1，公差d为正整数的等差数列{an}满足下列两个条件：

(1)a3＋a5＋a7＝93；

(2)满足an＞100的n的最小值是15.

试求公差d和首项a1的值．

解：∵a3＋a5＋a7＝93，

∴3a5＝93，∴a5＝31，

∴an＝a5＋(n－5)d.

令an＞100，得n＞＋5.

∵满足an＞100的n的最小值是15，

∴14≤＋5＜15，

∴6＜d≤7，又d为正整数，

∴d＝7，a1＝a5－4d＝3.

10．某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件．

试问：在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大利润？(设最低档次为第1档次)

解：设在相同的时间内，

从低到高每档产品的产量分别为a1，a2，…，a10，

每件产品的利润分别为b1，b2，…，b10，

则{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝60，d1＝－3，b1＝8，d2＝2，

则an＝60－3(n－1)＝－3n＋63，

bn＝8＋2(n－1)＝2n＋6，

所以利润f(n)＝anbn＝(－3n＋63)(2n＋6)＝－6n2＋108n＋378＝－6(n－9)2＋864.

显然，当n＝9时，f(n)max＝f(9)＝864.

即在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润．

1．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝(　　)

A．1  B.

C.  D.

解析：选C　设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2，

再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，

∵a1＝，∴d＝，

∴a2＝＋＝，a3＝＋1＝，

a4＝＋＝，

∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝＝.

2．[多选]下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个说法，其中正确的是(　　)

A．数列{an}是递增数列

B．数列{nan}是递增数列

C．数列是递增数列

D．数列{an＋3nd}是递增数列

解析：选AD　an＝a1＋(n－1)d，d>0，∴an－an－1＝d>0，A正确；

nan＝na1＋n(n－1)d，

∴nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d与0的大小关系和a1的取值情况有关．

故数列{nan}不一定递增，B不正确；

对于C：＝＋d，

∴－＝，

当d－a1>0，即d>a1时，数列递增，

但d>a1不一定成立，C不正确；

对于D：设bn＝an＋3nd，

则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d>0.

∴数列{an＋3nd}是递增数列，D正确．

3．假设某市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米．

解析：设从2019年年底开始，n年后该市每年新建住房的面积为an万平方米．由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝450，公差d＝50，所以an＝a1＋(n－1)d＝400＋50n.令400＋50n＞820，解得n＞.由于n∈N*，则n≥9.所以该市在2028年新建住房的面积开始大于820万平方米．

答案：2028

4．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求数列{bn}的通项公式．

解：(1)设{an}的公差为d.∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4.

∵a8＝a2＋(8－2)d，

∴16＝4＋6d，解得d＝2.

∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.

(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.

当n＞1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.

∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．

∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.

5．下表是一个“等差数阵”：

其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．

(1)写出a45的值；

(2)写出aij的计算公式，以及2 020这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．

解：(1)a45表示数阵中第4行第5列的数．

先看第1行，由题意4,7，…，a15，…成等差数列，

公差d＝7－4＝3，则a15＝4＋(5－1)×3＝16.

再看第2行，同理可得a25＝27.

最后看第5列，由题意a15，a25，…，a45成等差数列，

∴a45＝a15＋3d＝16＋3×(27－16)＝49.

(2)该“等差数阵”的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a1j＝4＋3(j－1)；

第2行是首项为7，公差为5的等差数列a2j＝7＋5(j－1)；

第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，

∴aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)

＝2ij＋i＋j＝j(2i＋1)＋i.

要求2 020在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i，j，使得j(2i＋1)＋i＝2 020，

∴j＝.又∵j∈N*，∴当i＝1时，得j＝673.

∴2 020在“等差数阵”中的一个位置是第1行第673列．