第五章 章末综合检测 一元函数的导数及其应用（A、B卷）

这是一份第五章 章末综合检测 一元函数的导数及其应用（A、B卷），共18页。

章末综合检测 （二） 一元函数的导数及其应用（A、B卷）
A卷——基本知能盘查卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(3)等于(　　)
A．－4　　　　　　　　 B．－2
C．1 D．2
解析：选D　对f(x)求导得f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，可得f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x＋2f′(1)＝2x－4，当x＝3时，f′(3)＝2.故选D.
2．已知函数f(x)＝ax2＋b的图象开口向下， ＝4，则a＝(　　)
A. B．－
C．2 D．－2
解析：选B　由题意知，f′(x)＝2ax，由导数的定义可知 ＝f′(a)＝2a2＝4，解得a＝±.因为函数f(x)的图象开口向下，所以a<0，所以a＝－.
3．如图是导函数y＝f′(x)的图象，则下列说法错误的是(　　)

A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间
B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间
C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值
D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值
解析：选C　由题图，可知当x<－1或35或－10，所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)，所以函数y＝f(x)在x＝－1，x＝5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C说法错误．
4．过点P(2，－6)作曲线f(x)＝x3－3x的切线，则切线方程为(　　)
A．3x＋y＝0或24x－y－54＝0
B．3x－y＝0或24x－y－54＝0
C．3x＋y＝0或24x－y＋54＝0
D．24x－y－54＝0
解析：选A　设切点为(m，m3－3m)，
f(x)＝x3－3x的导数为f′(x)＝3x2－3，
则切线斜率k＝3m2－3，
由点斜式方程可得切线方程为y－m3＋3m＝(3m2－3)·(x－m)，
将点P(2，－6)代入可得－6－m3＋3m＝(3m2－3)(2－m)，
解得m＝0或m＝3.
当m＝0时，切线方程为3x＋y＝0；
当m＝3时，切线方程为24x－y－54＝0.
5．若函数f(x)＝(x>1)有最大值－4，则实数a的值是(　　)
A．1 B．－1
C．4 D．－4
解析：选B　由函数f(x)＝(x>1)，
则f′(x)＝＝，
要使得函数f(x)有最大值－4，则a<0，
则当x∈(1,2)时，f′(x)>0，函数f(x)在(1,2)上单调递增，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，
所以当x＝2时，函数f(x)取得最大值，即f(x)max＝f(2)＝＝－4，解得a＝－1，满足题意，故选B.
6．已知函数f(x)＝x＋在(－∞，－1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0,1]
C．(0,1] D．(－∞，0)∪[1，＋∞)
解析：选D　由题意知f′(x)＝1－，由于f(x)在(－∞，－1)上单调递增，则f′(x)≥0在(－∞，－1)上恒成立，即≤x2在(－∞，－1)上恒成立．当x<－1时，x2>1，则有≤1，解得a≥1或a<0.故选D.
7．若函数f(x)＝x3－3bx＋3在(－1,2)内有极值，则实数b的取值范围是(　　)
A．(0,4) B．[0,4)
C．[1,4) D．(1,4)
解析：选A　f′(x)＝3x2－3b＝0，即x2＝b.
又∵f(x)在(－1,2)内有极值，∴f′(x)在(－1,2)内有变号零点，∴0 当b＝0时，f(x)＝x3＋3在R上单调递增，没有极值．故选A.
8．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a＝(　　)
A.－1 B．
C. D．＋1
解析：选A　由题意得f′(x)＝＝(x>0)，
所以当00，f(x)单调递增；
当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
①当>1，即a>1时，f(x)在[1，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，故f(x)max＝f()＝＝ .令＝，解得a＝，不合题意；
②当0＜≤1，即0＜a≤1时，f(x)在[1，＋∞)上单调递减，故f(x)max＝f(1)＝.令＝，解得a＝－1.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列函数求导运算正确的为(　　)
A．(3x)′＝3xlog3e B．(log2x)′＝
C．(ex)′＝ex D．′＝x
解析：选BC　A．(3x)′＝3xln 3，故错误；B.(log2x)′＝，故正确；C.(ex)′＝ex，故正确；D.′＝－，故错误．故选B、C.
10．设f(x)在x0处可导，下列式子中与f′(x0)相等的是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选AC　A.
＝ ＝f′(x0)．
B.
＝2 ＝2f′(x0)．
C. ＝f′(x0)．
D.
＝3 ＝3f′(x0)．
故选A、C.
11．已知曲线y＝在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋y＋2＝0 B．2x＋y－18＝0
C．2x－y－18＝0 D．2x－y＋2＝0
解析：选AB　y′＝＝－，y′|x＝2＝－＝－2，因此kl＝－2，设直线l方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意得＝2，解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故选A、B.
12．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是(　　)
A．函数f(x)在(－∞，－4)上单调递减
B．函数f(x)在x＝2处取得极大值
C．函数f(x)在x＝－4处取得极值
D．函数f(x)只有一个极值点
解析：选BD　由导函数的图象可得，当x≤2时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；当x＞2时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．所以函数f(x)的单调递减区间为(2，＋∞)，故A错误．当x＝2时函数取得极大值，故B正确．当x＝－4时函数无极值，故C错误．只有当x＝2时函数取得极大值，故D正确，故选B、D.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若函数f(x)＝3sin2＋5，则f′的值为________．
解析：∵f′(x)＝6sin·′
＝6sin·cos·′
＝12sincos
＝6sin，
∴f′＝－3.
答案：－3
14．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，若f′(x)是偶函数，则a＝________，曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________．
解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3为偶函数，∴a＝0，
∴f′(x)＝3x2－3，f′(0)＝－3，
∴所求切线方程为y＝－3x.
答案：0　y＝－3x
15．某公司需要一年购买某种货物共400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总储存费为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则x应为________吨．
解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，
∴总运费与总储存费之和f(x)＝4n＋4x＝＋4x.
令f′(x)＝4－＝0，解得x＝20，x＝－20(舍去)．
经检验可知，x＝20是函数f(x)的最小值，
故当每次购买20吨时，总费用之和最小．
答案：20
16．设函数f(x)＝ln x＋，m∈R，若任意两个不相等正数a，b，都有<1恒成立，则m的取值范围是________．
解析：不妨设b>a>0，原式恒成立等价于f(b)－b 设h(x)＝f(x)－x＝ln x＋－x(x>0)，
则h(b) 所以h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
则m≥－x2＋x＝－2＋(x>0)恒成立，
所以m≥.
答案：
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，求曲线在点M处的斜率最小的切线方程．
解：∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴当x＝2时，y′min＝－1，此时y＝，
∴斜率最小的切线过点，且斜率k＝－1，
∴所求切线方程为3x＋3y－11＝0.
18．(12分)已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解：(1)由题意得f′(x)＝，
又因为f′(1)＝＝0，故k＝1.
(2)由(1)知，f′(x)＝，
设h(x)＝－ln x－1(x>0)，
则h′(x)＝－－<0，
即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．
由h(1)＝0知，当00，从而f′(x)>0；
当x>1时，h(x)<0，从而f′(x)<0.
综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
19．(12分)(2020·大庆实验中学高二期末)已知函数f(x)＝ex－ax＋b.
(1)若f(x)在x＝1处有极小值1，求实数a，b的值；
(2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝ex－a，
由题意得即解得
故所求的实数a＝e，b＝1.
(2)由(1)得f′(x)＝ex－a，
∵f(x)在R上单调递增，
∴f′(x)＝ex－a≥0在R上恒成立．
即a≤ex，x∈R恒成立．
∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，
∴a≤0，∴实数a的取值范围为(－∞，0]．
20．(12分)已知函数f(x)＝ln x.
(1)求f(x)的图象过点P(0，－1)的切线方程；
(2)若函数g(x)＝f(x)－mx＋存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.
设切点坐标为(x0，ln x0)，
则切线方程为y＝x＋ln x0－1.
把点P(0，－1)代入切线方程，得ln x0＝0，
所以x0＝1，
所以过点P(0，－1)的切线方程为y＝x－1.
(2)因为g(x)＝f(x)－mx＋＝ln x－mx＋，
所以g′(x)＝－m－＝－.
令h(x)＝mx2－x＋m，
要使g(x)存在两个极值点x1，x2，
则方程mx2－x＋m＝0有两个不相等的正数根x1，x2.
故只需满足即可，解得0＜m＜.
故m的取值范围为.
21．(12分)已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋(a∈R)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的极值．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝ln(x＋1)＋(x>－1)，
所以f′(x)＝＋＝，
所以f′(0)＝2.又f(0)＝0，
所以函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.
(2)f′(x)＝＋＝(x>－1)，
令x＋1＋a＝0，得x＝－a－1.
若－a－1≤－1，即a≥0，
则f′(x)>0恒成立，此时f(x)无极值；
若－a－1>－1，即a<0，
则当－1 当x>－a－1时，f′(x)>0，
此时f(x)在x＝－a－1处取得极小值，极小值为ln(－a)＋a＋1.
22．(12分)设函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋a.
(1)求函数f(x)在区间[－2,2]上的最值；
(2)若函数f(x)有且只有两个零点，求a的值．
解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝3x2－12x＋9，
令f′(x)＝0可得x＝1或x＝3(舍去)，
因为x∈[－2,2]，
所以当x∈[－2,1)时，f′(x)>0，f(x)在[－2,1)上单调递增；
当x∈(1,2]时，f′(x)<0，f(x)在(1,2]上单调递减．
又因为f(1)＝4＋a，f(－2)＝－50＋a，f(2)＝2＋a，
所以f(x)min＝－50＋a，f(x)max＝4＋a.
(2)令f(x)＝x3－6x2＋9x＋a＝0，
可得a＝－x3＋6x2－9x.
设g(x)＝－x3＋6x2－9x，则g′(x)＝－3x2＋12x－9，
令g′(x)＝0，得x＝1或x＝3，列表如下，
x
(－∞，1)
1
(1,3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
0
－
g(x)

极小值－4

极大值0

所以g(x)的大致图象如图所示，

要使a＝－x3＋6x2－9x有且只有两个零点，
只需直线y＝a与g(x)的图象有两个不同交点，
所以a＝－4或a＝0.
B卷——高考能力达标卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于(　　)
A．e2　　　　　　　　 B．e
C. D．ln 2
解析：选B　∵f(x)＝xln x，
∴f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，
∵f′(x0)＝2，∴ln x0＋1＝2，∴x0＝e.故选B.
2．曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析：选B　由题意知点(1,3)在曲线y＝x3－2x＋4上．∵y＝x3－2x＋4，∴y′＝3x2－2，根据导数的几何意义，可知曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝1，∴曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为45°.故选B.
3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D　∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
又f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝30－6a＝0.得a＝5.
4．函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x＋3)f′(x)<0的解集为(　　)

A．(－∞，－3)∪(－1,1) B．(－∞，－3)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：选A　当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，
解不等式(x＋3)·f′(x)<0，得x<－3.
当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，
解不等式(x＋3)·f′(x)<0，得－1 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
不等式(x＋3)·f′(x)<0无解．
综上，不等式(x＋3)f′(x)<0的解集为x∈(－∞，－3)∪(－1,1)，故选A.
5．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为(　　)
A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞)
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
解析：选D　由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，
所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值

极小值

又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，所以k≤－3.
6．若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
解析：选B　由题意知f′(x)＝ex－a.
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意．
当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln a，
∴当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
可知x＝ln a为f(x)的极值点，
∴ln a<0，∴a∈(0,1)．故选B.
7．若函数f(x)在R上可导，且f(x)>f′(x)，则当a>b时，下列不等式成立的是(　　)
A．eaf(a)>ebf(b) B．ebf(a)>eaf(b)
C．ebf(b)>eaf(a) D．eaf(b)>ebf(a)
解析：选D　∵′＝
＝<0，
∴y＝单调递减，
又a>b，∴<，
∴eaf(b)>ebf(a)．
8．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
解析：选A　当x>0时，令F(x)＝，则F′(x)＝<0，∴当x>0时，F(x)＝为减函数．
∵f(x)为奇函数，且由f(－1)＝0，得f(1)＝0，故F(1)＝0.
在区间(0,1)上，F(x)>0；在(1，＋∞)上，F(x)<0.
即当00；当x>1时，f(x)<0.
又f(x)为奇函数，∴当x∈(－∞，－1)时，f(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f(x)<0.
综上可知，f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．曲线y＝x2－1与y＝ln x(　　)
A．在点(1,0)处相交
B．在点(1,0)处相切
C．存在相互平行的切线
D．有两个交点
解析：选ACD　令f(x)＝x2－1，g(x)＝ln x，f(1)＝g(1)＝0，f′(1)＝2，g′(1)＝1，故选A，排除B.
f′(x)＝2x∈R，g′(x)＝∈(0，＋∞)，存在f′(1)＝g′，故选C.
令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝2x－，故F(x)在上单调递减，在上单调递增，而F＝－＋ln 2＜0，F＞F(e)＝e2－2＞0，故选D.
10．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最值情况为(　　)
A．最大值为12 B．最大值为5
C．最小值为－8 D．最小值为－15
解析：选AC　y′＝6x2－6x－12，
由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．
x＝－2时，y＝1；x＝－1时，y＝12；x＝1时，y＝－8.
∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A、C.
11．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)

A．f(a)>f(e)>f(d)
B．函数f(x)在[a，b]上递增，在[b，d]上递减
C．f(x)的极值点为c，e
D．f(x)的极大值为f(c)
解析：选CD　由导数与函数单调性的关系知，当f′(x)>0时，f(x)单调递增，
当f′(x)<0时，f(x)单调递减．
结合所给图象知，当x∈(a，c)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(a，c)上单调递增；
当x∈(c，e)时，f′(x)<0，
∴f(x)在(c，e)上单调递减；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(e，＋∞)上单调递增，
∴函数f(x)在x＝c处取得极大值f(c)，在x＝e处取得极小值f(e)，
∴f(x)的极值点为c，e.故选C、D.
12．对于函数f(x)＝，下列说法正确的有(　　)
A．f(x)在x＝1处取得极大值
B．f(x)有两个不同的零点
C．f(4)＜f(π)＜f(3)
D．πe2＞2eπ
解析：选AC　由函数f(x)＝，可得函数f(x)的导数为f′(x)＝.当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．可得函数f(x)在x＝1处取得极大值，且为最大值，所以A正确；因为f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＞0恒成立，所以函数f(x)只有一个零点，所以B错误；由f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且4＞π＞3＞1，可得f(4)＜f(π)＜f(3)，所以C正确；由f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且π＞2＞1，可得＜，即πe2＜2eπ，所以D错误．故选A、C.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．函数f(x)＝exsin x的图象在点(0，f(0))处切线的倾斜角为________．
解析：由题意得，f′(x)＝exsin x＋excos x＝ex(sin x＋cos x)，∴函数f(x)的图象在点(0，f(0))处切线的斜率k＝f′(0)＝1，则所求的倾斜角为.
答案：
14．已知函数f(x)＝asin 2x－(a＋2)cos x－(a＋1)x在上无极值，则a＝________，f(x)在上的最小值是________．
解析：f′(x)＝acos 2x＋(a＋2)sin x－a－1
＝a(1－2sin2x)＋(a＋2)sin x－a－1
＝－2asin2x＋(a＋2)sin x－1
＝－(2sin x－1)(asin x－1)．
当sin x＝，即x＝∈时，f′(x)＝0.
所以要使f(x)在上无极值，则a＝2，
此时f′(x)＝－(2sin x－1)2≤0恒成立，即f(x)单调递减，故在区间上f(x)的最小值为f＝－.
答案：2　－
15．当x∈(0,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：根据题意，当x∈(0,1]时，分离参数a，
得a≥－－恒成立．
令＝t，∴t≥1时，a≥t－4t2－3t3恒成立．
令g(t)＝t－4t2－3t3，
则g′(t)＝1－8t－9t2＝(t＋1)(－9t＋1)，
当t≥1时，g′(t)<0，∴函数g(t)在[1，＋∞)上是减函数．
则g(t)≤g(1)＝－6，∴a≥－6.
∴实数a的取值范围是[－6，＋∞)．
答案：[－6，＋∞)
16．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30 n mile/h，当速度为10 n mile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲、乙两地相距800 n mile，那么要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________n mile/h.
解析：设从甲地到乙地海轮的航速为v n mile/h，燃料费为y元/h，总费用为f(x)元．
由题意设y与v满足的关系式为y＝av3(0≤v≤30)，
由题意得25＝a·103，∴a＝.
则f(x)＝v3×＋×400＝20v2＋.
由f′(x)＝40v－＝0，得v＝20.
当00.
∴当v＝20时，f(x)最小．
即当总费用最低时，海轮的航速为20 n mile/h.
答案：20
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值；
(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
(1)由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，
从而x1x2＝＝1，所以a＝9.
(2)因为Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)>0，
所以不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．
18．(12分)已知函数f(x)＝－aln x.
(1)若曲线f(x)在x＝1处的切线方程为x－2y＋1＝0，求实数a的值；
(2)求函数f(x)在区间[1,4]上的极值．
解：(1)因为f(x)＝－aln x，
所以f′(x)＝－，所以f′(1)＝－a.
因为曲线f(x)在x＝1处的切线方程为x－2y＋1＝0，
所以－a＝，解得a＝0.
故实数a的值为0.
(2)由(1)，知f′(x)＝－＝.
①当2a≤1，即a≤时，f′(x)≥0在[1,4]上恒成立，
所以函数f(x)在[1,4]上单调递增，
所以函数f(x)在[1,4]上无极值．
②当2a≥2，即a≥1时，f′(x)≤0在[1,4]上恒成立，
所以函数f(x)在[1,4]上单调递减，
所以函数f(x)在[1,4]上无极值．
③当1<2a<2，即 x
[1,4a2)
4a2
(4a2,4]
f′(x)
－
0
＋
f(x)

极小值

所以当x＝4a2时，f(x)取得极小值，为2a－2aln(2a)，无极大值．
19．(12分)已知函数f(x)＝ln x＋(a>0)．
(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若以函数y＝f(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝ln x＋，
定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＝，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，
单调递增区间为(1，＋∞)．
(2)由(1)知f′(x)＝(0 则k＝f′(x0)＝≤(0 即a≥max.
当x0＝1时，－x＋x0取得最大值，
所以a≥，所以a的最小值为.
20．(12分)已知函数f(x)＝ex－3x＋3a(e为自然对数的底数，a∈R)．
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln ，且x>0时，>x＋－3a.
解：(1)由f(x)＝ex－3x＋3a，x∈R，知f′(x)＝ex－3，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 3，
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 3)
ln 3
(ln 3，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)

极小值

故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 3)，
单调递增区间是(ln 3，＋∞)，
f(x)在x＝ln 3处取得极小值，极小值为f(ln 3)＝eln 3－3ln 3＋3a＝3(1－ln 3＋a)，无极大值．
(2)证明：待证不等式等价于ex>x2－3ax＋1，
设g(x)＝ex－x2＋3ax－1，x>0，
于是g′(x)＝ex－3x＋3a，x>0.
由(1)及a>ln ＝ln 3－1知：
g′(x)的最小值为g′(ln 3)＝3(1－ln 3＋a)>0.
于是对任意x>0，都有g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)内单调递增．
于是当a>ln ＝ln 3－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex>x2－3ax＋1，故>x＋－3a.
21．(12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x－.
(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y＝ln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y＝ex的切线．
解：(1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．
因为f′(x)＝＋>0，
所以f(x)在(0,1)，(1，＋∞)上单调递增．
因为f(e)＝1－<0，f(e2)＝2－＝>0，
所以f(x)在(1，＋∞)上有唯一零点x1(e 又0<<1，f＝－ln x1＋＝－f(x1)＝0，
故f(x)在(0,1)上有唯一零点.
综上，f(x)有且仅有两个零点．
(2)证明：因为＝e－ln x0，
所以点B在曲线y＝ex上．
由题设知f(x0)＝0，即ln x0＝，
故直线AB的斜率k＝＝＝.
曲线y＝ex在点B处切线的斜率是，曲线y＝ln x在点A(x0，ln x0)处切线的斜率也是，
所以曲线y＝ln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y＝ex的切线．
22．(12分)函数f(x)＝aln x－bx2(x＞0)．
(1)若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
①求实数a，b的值；②求函数f(x)在上的最大值．
(2)当b＝0时，若不等式f(x)≥m＋x对所有的a∈，x∈(1，e2]都成立，求实数m的取值范围．
解：(1)①f′(x)＝－2bx，
∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
∴解得
②f(x)＝ln x－x2，f′(x)＝－x＝，
当≤x≤e时，令f′(x)＞0得≤x<1；
令f′(x)＜0，得1＜x≤e，
∴f(x)在上单调递增，在[1，e]上单调递减，
∴f(x)max＝f(1)＝－.
(2)当b＝0时，f(x)＝aln x，
若不等式f(x)≥m＋x对所有的a∈，x∈(1，e2]都成立，
则aln x≥m＋x，即m≤aln x－x对所有的a∈，x∈(1，e2]都成立．
令h(a)＝aln x－x，则h(a)为一次函数，m≤h(a)min.
∵x∈(1，e2]，
∴ln x＞0，∴h(a)在a∈上单调递增，
∴h(a)min＝h(0)＝－x，
∴m≤－x对所有的x∈(1，e2]都成立，
∵1＜x≤e2，
∴－e2≤－x＜－1，
∴m≤(－x)min＝－e2.
故实数m的取值范围为(－∞，－e2]．