数学选择性必修 第二册4.3 等比数列当堂达标检测题

这是一份数学选择性必修 第二册4.3 等比数列当堂达标检测题，共6页。
课时跟踪检测 （十）  数列求和1．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为(　　)A．2100－101  B.299－101C．2100－99  D.299－99解析：选A　由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101.2．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数为(　　)A．11  B.99C．120  D.121解析：选C　∵an＝＝－，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1，令－1＝10，得n＝120.3．已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于(　　)A．15  B.12C．－12  D.－15解析：选A　∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.4．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　)A．0  B.100C．－100  D.10 200解析：选B　由题意可得，当n为奇数时，an＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－2n－1；当n为偶数时，an＝f(n)＋f(n＋1)＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1.所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝[－2×(1＋3＋5＋…＋99)－50]＋[2×(2＋4＋6＋…＋100)＋50]＝100，故选B.5．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a＞0，a≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10＝(　　)A.  B.C．1  D.解析：选B　∵对数函数y＝logax的图象过定点(1,0)，∴函数y＝loga(x－1)＋3的图象过定点(2,3)，则a2＝2，a3＝3，故an＝n，∴bn＝＝－，∴T10＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选B.6．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 020＝________.解析：∵数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n，         ①∴n＝1时，a2＝2，n≥2时，an·an－1＝2n－1，                                    ②①÷②得＝2.∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2 020＝＋＝3×21 010－3.答案：3×21 010－37．已知等比数列{an}的公比q≠1，且a1＝1,3a3＝2a2＋a4，则数列的前4项和为________．解析：∵等比数列{an}中，a1＝1,3a3＝2a2＋a4，∴3q2＝2q＋q3.又∵q≠1，∴q＝2，∴an＝2n－1，∴＝2n－1，即是首项为，公比为的等比数列，∴数列的前4项和为＝.答案：8．已知an＝2n－2，a＝bn，cn＝，则数列{cn}的前n项和Sn＝________.解析：因为a＝(2n－2)2＝bn，所以bn＝－2n＋4，所以cn＝＝＝＝(－n＋2)·n－3，所以Sn＝1·－2＋0·－1＋(－1)·0＋…＋(－n＋2)·n－3，     ①则Sn＝1·－1＋0·0＋(－1)·1＋…＋(－n＋2)·n－2，      ②①－②得Sn＝4－－(－n＋2)·n－2＝4－－(－n＋2)·n－2＝，整理得Sn＝.答案：9．已知等比数列{an}各项都是正数，Sn为其前n项和，a3＝8，S3＝14.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设{an－bn}是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.解：(1)等比数列{an}中，a3＝8，S3＝14，可列方程组∵{an}各项都是正数，∴q＞0，解得∴an＝2n.(2)由题意知an－bn＝3n－2，即2n－bn＝3n－2，∴bn＝2n－3n＋2.∴Tn＝21＋22＋…＋2n－3×(1＋2＋…＋n)＋2n＝－3×＋2n＝2n＋1－n2＋－2.10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝11，S10＝100.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(－1)n，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设该等差数列{an}的首项为a1，公差为d，根据题意可知解得所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1. (2)由(1)得an＝2n－1，所以bn＝(－1)n·＝(－1)n··，所以Tn＝.当n为奇数时，Tn＝；当n为偶数时，Tn＝.所以Tn＝－＋(－1)n. 1．设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10等于(　　)A．1 033  B.1 034C．2 057  D.2 058解析：选A　由已知可得an＝n＋1，bn＝2n－1，于是abn＝bn＋1，因此ab1＋ab2＋…＋ab10＝(b1＋1)＋(b2＋1)＋…＋(b10＋1)＝b1＋b2＋…＋b10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝＋10＝1 033.2．已知Sn为数列{an}的前n项和，若an(4＋cos nπ)＝n(2－cos nπ)，则S20＝(　　)A．31  B.122C．324  D.484解析：选B　∵an(4＋cos nπ)＝n(2－cos nπ)，∴当n＝2k－1(k∈N*)时，an＝n；当n＝2k(k∈N*)时，an＝.∴an＝∴a1＝1，a2＝，a3＝3，a4＝，a5＝5，….∴S20＝(1＋3＋…＋19)＋＝＋×＝122.故选B.3．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．解析：当n＝2k(k∈N*)时，a2k＋1＋a2k＝4k－1，当n＝2k－1(k∈N*)时，a2k－a2k－1＝4k－3，∴a2k＋1＋a2k－1＝2，∴a2k＋3＋a2k＋1＝2，∴a2k－1＝a2k＋3，∴a1＝a5＝…＝a61.∴a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)＝＝30×61＝1 830.答案：1 8304．对于数列{an}，定义数列{an＋1－2an}为数列{an}的“2倍差数列”，若a1＝2，{an}的“2倍差数列”的通项公式为an＋1－2an＝2n＋1，求数列{an}的前n项和Sn.解：已知an＋1－2an＝2n＋1，且a1＝2，则－＝1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n·2n，则Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，                                               ①2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，                                  ②①－②，得－Sn＝2＋(22＋23＋…＋2n)－n·2n＋1＝2＋－n·2n＋1，所以Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.5．有n2(n≥4)个正数，排成n×n矩阵(n行n列的数表)：，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等．已知a24＝1，a42＝，a43＝.(1)求公比q；(2)用k表示a4k；(3)求a11＋a22＋…＋ann的值．解：(1)因为每一行的数成等差数列，所以a42，a43，a44成等差数列，所以a44＝2a43－a42＝.又每一列的数成等比数列，故a44＝a24·q2，则q2＝＝.又an＞0，所以q＞0，故q＝.(2)由已知，第四行的数成等差数列，且公差d＝a43－a42＝.因为a4k为此行中第k个数，所以a4k＝a42＋(k－2)d＝＋(k－2)·＝(k＝1,2，…，n)．(3)因为第k列的数成等比数列，且a4k为此列中第4个数，所以akk＝a4k·qk－4＝·k－4＝k·k(k＝1,2，…，n)．设S＝a11＋a22＋…＋ann，则S＝＋2×2＋3×3＋…＋(n－1)×n－1＋n×n，①S＝2＋2×3＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1，        ②由①－②，整理得S＝2－.