数学5.3 导数在研究函数中的应用一课一练

这是一份数学5.3 导数在研究函数中的应用一课一练，共5页。
课时跟踪检测 （十七）  函数的极值1.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有(　　)A．两个极大值，一个极小值B．两个极大值，无极小值C．一个极大值，一个极小值D．一个极大值，两个极小值解析：选C　由图可知导函数f′(x)有三个零点，依次设为x1<0，x2＝0，x3>0，当x<x1时，f′(x)<0，当x1<x<0时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x＝x1处取得极小值；当x1<x<x2时，f′(x)>0，当x2<x<x3时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x＝x2处无极值；当x>x3时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝x3处取得极大值，故选C.2．函数f(x)＝x2－ln x的极值点为(　　)A．0,1，－1  B．C．－  D．，－解析：选B　由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝，令f′(x)＝0，得x＝.当x>时，f′(x)>0；当0<x<时，f′(x)<0.所以当x＝时，f(x)取得极小值．从而f(x)的极小值点为x＝，无极大值点，选B.3．设函数f(x)＝xex＋1，则(　　)A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解析：选D　求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．4．已知函数f(x)＝2ln x＋ax在x＝1处取得极值，则实数a＝(　　)A．－2  B．2C．0  D．1解析：选A　f′(x)＝＋a，若f(x)在x＝1处取得极值，则f′(1)＝2＋a＝0，解得a＝－2.5．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(　　)A．(2,3)  B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)  D．(－∞，3)解析：选B　因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0，解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．6．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为________．解析：∵f′(x)＝3ax2＋b，由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，∴∴a＝1，b＝－3.答案：1，－37．函数y＝的极大值为__________，极小值为__________．解析：y′＝，令y′>0得－1<x<1，令y′<0得x>1或x<－1，∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.答案：1　－18．能说明“若f′(0)＝0，则x＝0是函数y＝f(x)的极值点”为假命题的一个函数是________．解析：极值点的导数必须为零，且极值点左右两侧的函数单调性相反．函数f(x)＝x3，当x＝0时，f′(0)＝2×02＝0，但是f(x)＝x3在R上单调递增，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．答案：f(x)＝x3或f(x)＝1(答案不唯一)9．设函数f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导函数为f′(x)，若函数f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．解：(1)因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝6x2＋2ax＋b，从而f′(x)＝62＋b－，即f′(x)的图象关于直线x＝－对称，则－＝－，即a＝3.由f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，得b＝－12.(2)由(1)，知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝1.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，－2)上单调递增；当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，即f(x)在(－2,1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增．从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值，为f(－2)＝21，在x＝1处取得极小值，为f(1)＝－6.10．若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.所以g′(x)＝f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点可能是1或－2.当x<－2时，g′(x)<0；当－2<x<1时，g′(x)>0，故－2是g(x)的极值点．当－2<x<1或x>1时，g′(x)>0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2. 1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－4处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)解析：选C　由函数f(x)在x＝－4处取得极小值，可得f′(－4)＝0，且导函数f′(x)从左侧趋近－4时，f′(x)<0；从右侧趋近－4时，f′(x)>0.故函数y＝xf′(x)从左侧趋近－4时，xf′(x)>0；从右侧趋近－4时，xf′(x)<0.结合所给的选项可知选C.2．[多选]已知直线y＝a与函数f(x)＝x3－x2－3x＋1的图象相切，则实数a的值为(　　)A.  B．－1C．8  D．－8解析：选AD　f′(x)＝x2－2x－3，令x2－2x－3＝0，可得x＝3或x＝－1.经分析可知，它们是函数f(x)的极值点．由直线y＝a与函数f(x)＝x3－x2－3x＋1的图象相切，可知它们只有在极值点所对应的点处相切．由x＝3或x＝－1可得函数的极值为－8或.故实数a的值为－8或.3．若函数f(x)＝x2ln x(x>0)的极值点为α，函数g(x)＝xln x2(x>0)的极值点为β，则有(　　)A．α>β  B．α<βC．α＝β  D．α与β的大小不确定解析：选A　因为α，β分别为f(x)，g(x)的极值点，f′(x)＝2xln x＋x，g′(x)＝2ln x＋2，所以2αln α＋α＝0,2ln β＋2＝0，解得α＝e－，β＝e－1，所以α>β.4．已知函数f(x)＝2x3－(6a＋3)x2＋12ax＋16a2(a<0)只有一个零点x0，且x0<0，求实数a的取值范围．解：f′(x)＝6(x－1)(x－2a)，a<0，当x<2a或x>1时，f′(x)>0；当2a<x<1时，f′(x)<0.故f(x)的极小值为f(1)＝16a2＋6a－1，因为函数f(x)只有一个零点x0，且x0<0，所以16a2＋6a－1>0，又a<0，则a<－.故实数a的取值范围为.5．已知函数f(x)＝x3－ax2＋b在x＝－2处有极值．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间[－3,3]上有且仅有一个零点，求实数b的取值范围．解：(1)f′(x)＝x2－2ax，由题意知f′(－2)＝4＋4a＝0，解得a＝－1.∴f′(x)＝x2＋2x.令f′(x)>0，得x<－2或x>0；令f′(x)<0，得－2<x<0.∴f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)和(0，＋∞)，单调递减区间是(－2,0)．(2)由(1)知，f(x)＝x3＋x2＋b，f(－2)＝＋b为函数f(x)的极大值，f(0)＝b为函数f(x)的极小值．∵函数f(x)在区间[－3,3]上有且只有一个零点，∴或或即或或解得－18≤b<－，即实数b的取值范围是.