人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用同步训练题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用同步训练题，共6页。试卷主要包含了函数f的导函数f′有下列信息等内容，欢迎下载使用。
课时跟踪检测 （十九）  导数的应用问题1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为(　　)A．13万件　　　　　　　　 B．11万件C．9万件  D．7万件解析：选C　y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)，当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0. 所以当x＝9时，y取得最大值．2．某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为(　　)A．32 m,16 m  B．30 m,15 mC．40 m,20 m  D．36 m,18 m解析：选A　要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x m，则长为 m，因此新墙总长度L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－，令L′＝0，得x＝±16.∵x>0，∴x＝16.当x＝16时，Lmin＝64，∴堆料场的长为＝32 (m)．3．函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息：①f′(x)>0时，－1<x<2；②f′(x)<0时，x<－1或x>2；③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2.则函数f(x)的大致图象是(　　)解析：选C　根据信息知，函数f(x)在(－1,2)上是增函数．在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数，故选C.4．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R (x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是(　　)A．100  B．150C．200  D．300解析：选D　由题意，总成本为：C＝20 000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝P′＝令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．5．已知a∈R，函数f(x)＝x3－ax2＋ax＋2的导函数f′(x)在(－∞，1)上有最小值，若函数g(x)＝，则(　　)A．g(x)在(1，＋∞)上有最大值B．g(x)在(1，＋∞)上有最小值C．g(x)在(1，＋∞)上为减函数D．g(x)在(1，＋∞)上为增函数解析：选D　函数f(x)＝x3－ax2＋ax＋2的导函数f′(x)＝x2－2ax＋a，f′(x)图象的对称轴为x＝a，又导函数f′(x)在(－∞，1)上有最小值，所以a<1.函数g(x)＝＝x＋－2a，g′(x)＝1－＝，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上为增函数．故选D.6.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________ m时，帐篷的体积最大．解析：设OO1为x m，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为＝(m)，于是底面正六边形的面积为S＝6×()2＝(8＋2x－x2)．帐篷的体积为V＝×(8＋2x－x2)(x－1)＋·(8＋2x－x2)＝(8＋2x－x2)＝(16＋12x－x3)，V′＝(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)．当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0.所以当x＝2时，V最大．答案：27．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润为________元．解析：设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23 000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元．答案：23 0008.如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD＝x，则点C坐标为，点B坐标为，∴矩形ACBD的面积S＝f(x)＝x·＝－＋x，x∈(0,2)．由f′(x)＝－x2＋1＝0，得x1＝－(舍去)，x2＝，∴x∈时，f′(x)>0，f(x)是递增的，x∈时，f′(x)<0，f(x)是递减的，∴当x＝时，f(x)取最大值.答案：9.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2 400 m2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2 m．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出最大面积．解：设休闲广场的长为x m，则宽为 m，绿化区域的总面积为S(x) m2.则S(x)＝(x－6)＝2 424－＝2 424－4，x∈(6,600)．∴S′(x)＝－4＝，令S′(x)<0，得60<x<600；令S′(x)>0，得6<x<60.∴S(x)在(6,60)上是增函数，在(60,600)上是减函数，∴当x＝60时，S(x)取得极大值，也是最大值，∴S(x)max＝S(60)＝1 944.∴当休闲广场的长为60 m，宽为40 m时，绿化区域的总面积最大，最大面积为1 944 m2.10．已知f(x)＝ax2，g(x)＝2ln x，若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等解，试求a的取值范围．解：原式等价于方程a＝在区间[，e]上有两个不等解．令φ(x)＝，由φ′(x)＝易知，φ(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则φ(x)max＝φ()＝，而φ(e)＝，φ()＝.由φ(e)－φ()＝－＝＝<0，所以φ(e)<φ()．所以φ(x)min＝φ(e)，作出函数φ(x)的大致图象如图所示，可知φ(x)＝a有两个不等解时，需≤a<.即f(x)＝g(x)在[，e]上有两个不等解时a的取值范围为. 1．某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成关于x的函数y＝f(x)．(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件．由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6.则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．(2)由(1)得，f′(x)＝－18x2＋252x－432.令f′(x)＝0，得x＝2或x＝12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f′(x) －0＋0－ f(x)9 0728 66411 6640所以当x＝12时，f(x)取得极大值．因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，f(21)＝0，所以定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大．2．(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x－xcos x－x，f′(x)为f(x)的导数．(1)证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点；(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围．解：(1)证明：设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x＋xsin x－1，g′(x)＝xcos x.当x∈时，g′(x)>0；当x∈时，g′(x)<0，所以g(x)在上单调递增，在上单调递减．又g(0)＝0，g>0，g(π)＝－2，故g(x)在区间(0，π)存在唯一零点．所以f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点．(2)由题设知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0.由(1)知，f′(x)在区间(0，π)只有一个零点，设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)>0；当x∈(x0，π)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，π)上单调递减．又f(0)＝0，f(π)＝0，所以当x∈[0，π]时，f(x)≥0.又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，故f(x)≥ax.因此，a的取值范围是(－∞，0]．