高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时同步训练题

第六章计数原理

6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第1课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.某同学从4本不同的科普杂志,3本不同的文摘杂志,2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读,则不同的选法共有(　　)

A.24种 B.9种

C.3种 D.26种

答案B

解析任选一本阅读,有三类方案:第1类,从科普杂志中任取一本,有4种方法;第2类,从文摘杂志中任取一本,有3种方法;第3类,从娱乐新闻杂志中任取一本,有2种方法.根据分类加法计数原理,不同的选法种数为N=4+3+2=9.

2.将3个不同的小球放入4个盒子中,不同放法种数为 (　　)

A.81 B.64

C.14 D.12

答案B

解析将3个不同的小球放入4个盒子中,不同放法的种数都为4,根据分步乘法计数原理,不同放法的种数为4×4×4=64.

3.若x,y∈N,且1≤x≤3,x+y<7,则满足条件的不同的有序自然数对(x,y)的个数是(　　)

A.15 B.12

C.5 D.4

答案A

解析利用分类加法计数原理.

当x=1时,y=0,1,2,3,4,5,有6个不同的有序自然数对;

当x=2时,y=0,1,2,3,4,有5个不同的有序自然数对;

当x=3时,y=0,1,2,3,有4个不同的有序自然数对.

根据分类加法计数原理可得,共有6+5+4=15(个)不同的有序自然数对.

4.有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有(　　)

A.21种 B.315种

C.153种 D.143种

答案D

解析由题意,选一本语文书一本数学书有9×7=63(种),

选一本数学书一本英语书有5×7=35(种),

选一本语文书一本英语书有9×5=45(种),

根据分类加法计数原理,共有63+45+35=143(种)选法.

故选D.

5.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版,由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时,需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格,每个单元格填一个数字,要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字,则不同的填法有(　　)

A.12种 B.24种

C.72种 D.216种

答案A

解析先填第一行,有3×2×1=6(种)不同填法,再填第二行第一列,有2种不同填法,当该单元格填好后,其他单元格唯一确定.根据分步乘法计数原理,共有6×2=12(种)不同的填法.故选A.

6.为了进一步做好社区疫情防控工作,从6名医护人员中任意选出2人分别担任组长和副组长,则有　　　　　种不同的选法. 

答案30

解析首先从6人中选1人担任组长,共有6种不同的选法;然后从剩余5人中选1人担任副组长,共有5种不同的选法.根据分步乘法计数原理,从6名医护人员中任意选出2人分别担任组长和副组长共有6×5=30(种)不同的选法.

7.由1,2,3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数有　　　　　个. 

答案15

解析由题意,一位数有1,2,3,共3个自然数;两位数有12,21,23,32,13,31,共6个自然数;三位数有123,132,213,231,321,312,共6个自然数.根据分类加法计数原理,所组成的自然数的个数为3+6+6=15.

8.有一项活动,需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加.

(1)若只需1人参加,则有多少种不同的选法?

(2)若需教师、男同学、女同学各1人参加,则有多少种不同的选法?

解(1)选1人,可分三类:第1类,从教师中选1人,有3种不同的选法;第2类,从男同学中选1人,有8种不同的选法;第3类,从女同学中选1人,有5种不同的选法,根据分类加法计数原理,共有3+8+5=16(种)不同的选法.

(2)选教师、男同学、女同学各1人,分三步:第1步,选教师,有3种不同的选法;第2步,选男同学,有8种不同的选法;第3步,选女同学,有5种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有3×8×5=120(种)不同的选法.

9.某电视台连续播放6个广告,其中有3个不同的商业广告、2个不同的宣传广告和1个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,宣传广告与公益广告不能连续播放,2个宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式?

解用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序,则完成这件事有3类方法.

第1类,宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6.分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式;

第2类,宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6.分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式;

第3类,宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6.同样分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式.

由分类加法计数原理,得6个广告不同的播放方式共有36+36+36=108(种).

关键能力提升练

10.如图,一条电路从A处到B处接通时,可构成线路的条数为(每处只接通一条线路)(　　)

A.8 B.6 C.5 D.3

答案B

解析从A处到B处的电路接通可分两步.第1步,前一个并联电路接通有2条线路;第2步,后一个并联电路接通有3条线路.由分步乘法计数原理,知电路从A处到B处接通时,可构成线路的条数为2×3=6.

11.某班小张等4名同学报名参加A,B,C三个课外活动小组,每名同学限报其中一个小组,且小张不能报A小组,则不同的报名方法有(　　)

A.27种 B.36种 C.54种 D.81种

答案C

解析小张的报名方法有2种,其他3名同学的报名方法各有3种,由分步乘法计数原理知,共有2×3×3×3=54(种)不同的报名方法,故选C.

12.5名同学报名参加两个课外活动小组,每名同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有(　　)

A.10种 B.20种 C.25种 D.32种

答案D

解析每名同学都有2种选择,根据分步乘法计数原理,不同的报名方法共有25=32(种).

13.有4位教师在同一年级的4个班中分别担任数学老师,在数学测验时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有(　　)

A.8种 B.9种 C.10种 D.11种

答案B

解析设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班级分别为a,b,c,d.假设A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同的方法.同理A监考c,d时,也分别有3种不同的方法.由分类加法计数原理得,监考方法共有3+3+3=9种.

14.设m∈{1,2,3,4},n∈{-12,-8,-4,-2},则函数f(x)=x3+mx+n在区间[1,2]上有零点的概率是 (　　)

A B C D

答案C

解析根据题意,f'(x)=3x2+m,又因为m>0,所以f'(x)=3x2+m>0;

故f(x)=x3+mx+n在R上单调递增,

若函数f(x)=x3+mx+n在区间[1,2]上有零点,

则只需满足条件f(1)≤0且f(2)≥0.

所以m+n≤-1且2m+n≥-8,

所以-2m-8≤n≤-m-1,

当m=1时,n取-2,-4,-8;

当m=2时,n取-4,-8,-12;

当m=3时,n取-4,-8,-12;

当m=4时,n取-8,-12;

共11种取法,而m有4种选法,n有4种选法,

则函数f(x)=x3+mx+n有4×4=16(种)情况,

故函数f(x)=x3+mx+n在区间[1,2]上有零点的概率是,故选C.

15.某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元,某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,此人想把符合这种特殊要求的号买全,需要花　　　元. 

答案8 640

解析分四步:第1步,从01至10中选3个连续的号码有01,02,03;02,03,04;…;08,09,10,共8种不同的选法;

第2步,同理,从11至20中选2个连续的号码有9种不同的选法;

第3步,从21至30中选一个号码有10种不同的选法;

第4步,从31至36中选一个号码有6种不同的选法.

共可组成8×9×10×6=4 320(注),所以需要花费2×4 320=8 640(元).

16.如图,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有　　　　　个. 

答案40

解析满足条件的三角形有两类.第1类,与正八边形有两条公共边的三角形有8个;第2类,与正八边形有一条公共边的三角形有8×4=32(个),所以满足条件的三角形共有8+32=40(个).

17.现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.

(1)从中任选1幅画布置房间,有几种不同的选法?

(2)从这些国画、油画、水彩画中各选1幅画布置房间,有几种不同的选法?

(3)从这些画中任选出2幅不同画种的画布置房间,有几种不同的选法?

解(1)利用分类加法计数原理,知共有5+2+7=14(种)不同的选法.

(2)国画有5种不同的选法,油画有2种不同的选法,水彩画有7种不同的选法.由分步乘法计数原理,知共有5×2×7=70(种)不同的选法.

(3)三类分别为选国画与油画、油画与水彩画、国画与水彩画.由分类加法计数原理和分步乘法计数原理,知共有5×2+2×7+5×7=59(种)不同的选法.

学科素养创新练

18.用0,1,2,3,4,5可以组成多少个符合下列要求的无重复数字的数?

(1)四位整数;

(2)比2 000大的四位偶数.

解(1)分步解决:

第1步,千位数字有5种选取方法;

第2步,百位数字有5种选取方法;

第3步,十位数字有4种选取方法;

第4步,个位数字有3种选取方法.

由分步乘法计数原理知,可组成无重复数字的四位整数5×5×4×3=300(个).

(2)(方法一)按个位是0,2,4分为三类:

第1类,个位是0的有4×4×3=48(个);第2类,个位是2的有3×4×3=36(个);第3类,个位是4的有3×4×3=36(个).

则由分类加法计数原理知,有48+36+36=120(个)无重复数字的比2 000大的四位偶数.

(方法二)按千位是2,3,4,5分四类:

第1类,千位是2的有2×4×3=24(个);

第2类,千位是3的有3×4×3=36(个);

第3类,千位是4的有2×4×3=24(个);

第4类,千位是5的有3×4×3=36(个).

由分类加法计数原理知,有24+36+24+36=120(个)无重复数字的比2 000大的四位偶数.