高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.2 离散型随机变量及其分布列综合训练题

第七章随机变量及其分布

7.2　离散型随机变量及其分布列

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.给出下列四个命题:

①在某次数学期中考试中,一个考场30名考生做对选择题第12题的人数是随机变量;②黄河每年的最大流量是随机变量;③某体育馆共有6个出口,散场后从某一出口退场的人数是随机变量;④方程x2-2x-3=0的根的个数是随机变量.

其中真命题的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案C

2.一个袋子中有除颜色外其他都相同的红、黄、绿、白四种小球各若干个,一次倒出3个小球,下列变量是离散型随机变量的是(　　)

A.小球滚出的最大距离

B.倒出小球所需的时间

C.倒出的3个小球的质量之和

D.倒出的3个小球的颜色的种数

答案D

解析对于A,小球滚出的最大距离不是离散型随机变量,因为滚出的最大距离不能一一列出;对于B,倒出小球所需的时间不是离散型随机变量,因为所需的时间不能一一列出;对于C,3个小球的质量之和是一个定值,不是随机变量;对于D,倒出的3个小球的颜色的种数可以一一列出,是离散型随机变量.

3.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球的号码之和为随机变量X,则X所有可能取值的个数是(　　)

A.5 B.9 C.10 D.25

答案B

解析X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个.

4.已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数).

则下列结论错误的是(　　)

A.a=0.1 B.P(X≥2)=0.7

C.P(X≥3)=0.4 D.P(X≤1)=0.3

答案C

5.设随机变量X的概率分布列为

则P(|X-3|=1)=(　　)

A B C D

答案D

解析依题意,m=1-,则P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=

6.已知离散型随机变量X的分布列如下表,则实数c为 (　　)

A B

C D

答案A

解析由离散型随机变量分布列的性质知,9c2-c≥0,3-8c≥0,9c2-c+3-8c=1,

解得c=故选A.

7.若随机变量X的分布列为

则当P(X<a)=0.8时,实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,2] B.[1,2]

C.(1,2] D.(1,2)

答案C

解析由随机变量X的分布列知P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,故当P(X<a)=0.8时,实数a的取值范围是(1,2].

8.若随机变量X的分布列如下表所示,则a2+b2的最小值为(　　)

A B C D

答案C

解析由分布列性质可知a+b=,故a2+b2,当且仅当a=b=时,等号成立.故选C.

9.已知离散型随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P<X<的值为(　　)

A B C D

答案D

解析∵P(X=n)=(n=1,2,3,4),

=1,∴a=,

∴P<X<=P(X=1)+P(X=2)=

10.已知随机变量X的分布列如下表.

则X为奇数的概率为　　　　. 

答案

11.有一种密码,明文由三个字母组成,密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成.编码规则如下表.明文由表中每一排取一个字母组成,且第一排取的字母放在第一位,第二排取的字母放在第二位,第三排取的字母放在第三位,对应的密码由明文所取的这三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成.如明文取的三个字母为AFP,则与它对应的五个数字(密码)就为11223.

(1)假设明文是BGN,求这个明文对应的密码;

(2)设随机变量ξ表示密码中所含不同数字的个数.

①求P(ξ=2);

②求随机变量ξ的分布列.

解(1)这个明文对应的密码是12232.

(2)①∵表格的第一、二列均由数字1,2组成,

∴当ξ=2时,明文只能取表格第一、第二列中的字母.∴P(ξ=2)=

②由题意可知,ξ的取值为2,3.

∴P(ξ=3)=1-P(ξ=2)=1-

∴ξ的分布列为

关键能力提升练

12.袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球,分别标有数字1,2,3,4,5,现从中任意抽取2个,设两个球上的数字之积为X,则X所有可能取值的个数是(　　)

A.6 B.7

C.10 D.25

答案C

解析X的所有可能取值有1×2,1×3,1×4,1×5,2×3,2×4,2×5,3×4,3×5,4×5,共10个.

13.已知抛掷2枚骰子,所得点数之和X是一个随机变量,则P(X≤4)等于(　　)

A B

C D

答案A

解析根据题意,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,故P(X≤4)=

14.已知随机变量ξ只能取三个值x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则该等差数列的公差的取值范围是(　　)

A.0, B.-

C.[-3,3] D.[0,1]

答案B

解析设随机变量ξ取x1,x2,x3的概率分别为a-d,a,a+d(0≤a-d≤1,0≤a+d≤1),则由分布列的性质,得(a-d)+a+(a+d)=1,故a=

由解得-d

15.(多选)下列随机变量服从两点分布的是(　　)

A.抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数为随机变量X

B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量X

C.从装有5个红球,3个白球的袋中取1个球,令随机变量X=

D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X

答案BCD

16.(2021湖南长沙岳麓校级月考)设随机变量X的分布列为P(X=k)=a,k=1,2,3,则a的值为　　　　　. 

答案

解析因为随机变量X的分布列为P(X=k)=a,k=1,2,3,

所以根据分布列的性质有a+a+a=1,

所以a=a=1,

解得a=

17.袋中有4个红球、3个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得1分,取到1个黑球得3分,记得分为随机变量ξ,则P(ξ≤6)=　　　　. 

答案

解析取出的4个球中红球的个数可能为4,3,2,1,相应的黑球的个数为0,1,2,3,其得分ξ=4,6,8,10,则P(ξ≤6)=P(ξ=4)+P(ξ=6)=

18.某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩大于90分的具有复赛资格.某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(30,150]内,其频率分布直方图如图.

(1)求获得复赛资格的人数.

(2)从初赛得分在区间(110,150]的参赛者中,利用分层随机抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流,那么从得分在区间(110,130]与(130,150]中各抽取多少人?

(3)从(2)抽取的7人中,选出3人参加全市座谈交流,设X表示得分在区间(130,150]中参加全市座谈交流的人数,求X的分布列.

解(1)由题意知在区间(90,110]的频率为1-20×(0.002 5+0.005+0.007 5×2+0.012 5)=0.3,

0.3+(0.012 5+0.005)×20=0.65,

故获得复赛资格的人数为800×0.65=520.

(2)0.012 5∶0.005=5∶2,

在区间(110,150]的参赛者中,利用分层随机抽样的方法随机抽取7人,

则在区间(110,130]与(130,150]中各抽取5人,2人.

(3)X的可能取值为0,1,2,则

P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=

故X的分布列为

学科素养创新练

19.受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计数据如下:

将频率视为概率,解答下列各题:

(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;

(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列.

解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)=

(2)依题意得,X1的分布列为

X2的分布列为