第七章综合训练

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第七章综合训练
一、选择题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知随机变量X~B8,12,则E(3X-1)=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.11 B.12
C.18 D.36
答案A
解析∵随机变量X~B8,12,∴E(X)=8×12=4,∴E(3X-1)=3E(X)-1=3×4-1=11.
故选A.
2.已知离散型随机变量ξ的概率分布如下表,则其均值E(ξ)等于(　　)
ξ
1
3
5
P
0.5
m
0.2

A.1 B.0.6 C.2+3m D.2.4
答案D
解析依题意,0.5+m+0.2=1,解得m=0.3,
故E(ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.
故选D.
3.现在分别有A,B两个容器,在容器A里有7个红球和3个白球,在容器B里有1个红球和9个白球.现从这两个容器里任意抽出一个球,则在抽到的是红球的情况下,是来自容器A里面的球的概率是(　　)
A.0.5 B.0.7 C.0.875 D.0.35
答案C
解析设A=“抽到的是红球”,B=“抽到的是来自容器A里面的球”,则AB=“抽到的是来自容器A里面的红球”.由题意可知,P(AB)=720,P(A)=820,故P(B|A)=P(AB)P(A)=0.875,故选C.
4.某校一篮球运动员进行投篮练习,若他第1球投进,则第2球投进的概率为34,若他第1球投不进,则第2球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34,则他第2球投进的概率为(　　)
A.34 B.58 C.716 D.916
答案B
解析记“他第1球投进”为事件A,“他第2球投进”为事件B,由题知,P(B|A)=34,P(B|A)=14,
又知P(A)=34,所以P(A)=14,
所以P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=34×34+14×14=1016=58.
5.甲、乙两人进行羽毛球比赛,假设每局比赛甲胜的概率是23,各局比赛是相互独立的,采用5局3胜制,则乙以3∶1战胜甲的概率为(　　)
A.827 B.227 C.881 D.3281
答案B
解析由题意知,前3局乙胜2局,第4局乙胜,故所求概率P=C32×23×1-233=227.故选B.
6.设随机变量X的概率分布为P(X=i)=13,i=1,2,3,则D(X)等于(　　)
A.13 B.23 C.1 D.2
答案B
解析∵P(X=i)=13,i=1,2,3,
∴E(X)=1×13+2×13+3×13=2,
∴D(X)=(1-2)2×13+(2-2)2×13+(3-2)2×13=23.故选B.
7.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是12.质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为(　　)
A.125 B.C52125
C.C51125 D.C52C53125
答案B
解析依题意,质点在移动过程中向右移动2次,向上移动3次,因此质点P移动5次后位于点(2,3)的概率P=C52×122×1-123=C52125.
8.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏,规则是:3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势,规定相同手势人数多者每人得1分,其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏,每次游戏互不影响,记小明4次游戏得分之和为X,则X的均值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案C
解析进行“手心手背”游戏,小明与另外2名同学选择手势的所有可能情况为
(心,心,心),(心,心,背),(心,背,心),(心,背,背),(背,心,心),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背),则小明得1分的概率为34,得0分的概率为14.
进行4次游戏,小明得分之和X的可能结果为0,1,2,3,4,
则P(X=0)=C40×144=1256,
P(X=1)=C41×34×143=364,
P(X=2)=C42×342×142=27128,
P(X=3)=C43×343×14=2764,
P(X=4)=C44×344=81256,
故E(X)=0×1256+1×364+2×27128+3×2764+4×81256=3.故选C.
二、选择题(本题共4小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则(　　)
A.P(X>4)=0.2 B.P(X>0)=0.6
C.P(0≤X≤2)=0.3 D.P(0≤X≤4)=0.4
答案AC
解析∵P(X<4)=0.8,∴P(X>4)=0.2.
∵X~N(2,σ2),∴P(X<0)=P(X>4)=0.2.
∴P(0≤X≤4)=P(X<4)-P(X<0)=0.6,
P(X>0)=1-P(X<0)=0.8,
∴P(0≤X≤2)=12P(0≤X≤4)=0.3.
10.某市有A,B,C,D四个景点,一名游客来该市游览,已知该游客游览A的概率为23,游览B,C和D的概率都是12,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点的个数,下列结论正确的是(　　)
A.该游客至多游览一个景点的概率为14
B.P(X=2)=38
C.P(X=4)=124
D.E(X)=136
答案ABD
解析随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,
则P(X=0)=1-23×1-123=124,
P(X=1)=23×1-123+1-23×C31×12×1-122=524,
P(X=2)=23×C31×12×(1-12)2+1-23×C32×122×1-12=38,
P(X=3)=23×C32×122×1-12+1-23×C33×123=724,
P(X=4)=23×123=112,
故E(X)=0×124+1×524+2×38+3×724+4×112=136.
设A=“该游客至多游览一个景点”,则P(A)=P(X=0)+P(X=1)=14.故选ABD.
11.下列说法中,正确的是(　　)
A.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=23
B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变
C.设随机变量ξ~N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1≤ξ≤0)=12-p
D.某人在10次射击中,击中目标的次数为X,X~B(10,0.8),则当X=8时概率最大
答案BCD
解析对于选项A,因为X~B(n,p),E(X)=30,D(X)=20,所以np=30,np(1-p)=20,所以p=13,故选项A错误;
易知选项B正确;
对于选项C,因为ξ~N(0,1),P(ξ>1)=p,所以P(0≤ξ≤1)=12-p,所以P(-1≤ξ≤0)=12-p,故选项C正确;
对于选项D,因为X~B(10,0.8),所以当X=k(k=0,1,…,10)时,P(X=k)=C10k×0.8k×0.210-k,所以当1≤k≤10时,P(X=k)P(X=k-1)=C10k×0.8k×0.210-kC10k-1×0.8k-1×0.210-k+1=4(11-k)k.由4(11-k)k≥1得,44-4k≥k,即1≤k≤445.因为k∈N*,所以1≤k≤8,且k∈N*,故当k=8时,概率P(X=8)最大,故选项D正确.
故选BCD.
12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),∑i=1npi=1,定义X的信息熵H(X)=-∑i=1npilog2pi.(　　)
A.若n=1,则H(X)=0
B.若n=2,则H(X)随着p1的增大而增大
C.若pi=1n(i=1,2,…,n),则H(X)随着n的增大而增大
D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),则H(X)≤H(Y)
答案AC
解析对于A,若n=1,则p1=1,所以H(X)=-(1×log21)=0,所以A正确.
对于B,若n=2,则p2=1-p1,
所以H(X)=-[p1·log2p1+(1-p1)·log2(1-p1)],
当p1=14时,H(X)=-14×log214+34×log234,
当p1=34时,H(X)=-34×log234+14×log214,
两者相等,所以B错误.
对于C,若pi=1n(i=1,2,…,n),则
H(X)=-1n·log21n·n=-log21n=log2n,
则H(X)随着n的增大而增大,所以C正确.
对于D,若n=2m,随机变量Y的所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m).
则H(X)=-∑i=12mpi·log2pi=∑i=12mpi·log21pi
=p1·log21p1+p2·log21p2+…+p2m-1·log21p2m-1+p2m·log21p2m.
H(Y)=(p1+p2m)·log21p1+p2m+(p2+p2m-1)·log21p2+p2m-1+…+(pm+pm+1)·log21pm+pm+1=p1·log21p1+p2m+p2·log21p2+p2m-1+…+p2m-1·log21p2+p2m-1+p2m·log21p1+p2m.
因为pi>0(i=1,2,…,2m),所以1pi>1pi+p2m+1-i,所以log21pi>log21pi+p2m+1-i,
所以pi·log21pi>pi·log21pi+p2m+1-i,
所以H(X)>H(Y),所以D错误.
故选AC.
三、填空题(本题共4小题)
13.按照国家标准规定,500 g袋装奶粉每袋质量必须服从正态分布X~N(500,σ2),经检测某种品牌的奶粉P(490≤X≤510)=0.95,一超市一个月内共卖出这种品牌的奶粉400袋,则卖出的奶粉质量在510 g以上的袋数大约为　　　　　. 
答案10
解析因为X~N(500,σ2),且P(490≤X≤510)=0.95,所以P(X>510)=1-0.952=0.025,所以卖出的奶粉质量在510 g以上袋数大约为400×0.025=10(袋).
14.抛掷两个骰子,至少有一个4点或5点出现时,就说这次试验成功,则在8次试验中,成功次数ξ的均值是　　　　　　. 
答案409
解析在一次试验中,成功的概率为1-23×23=59.依题意,ξ~B8,59,故E(ξ)=8×59=409.
15.若随机变量X~B(4,p),且E(X)=2,则D(2X-3)=　　　　　. 
答案4
解析由随机变量X~B(4,p),且E(X)=2,可得4p=2,解得p=12,则D(X)=4×12×12=1,
故D(2X-3)=4D(X)=4.
16.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=　　　　　;E(ξ)=　　　　　. 
答案13　1
解析依题意,ξ的取值可能为0,1,2,
则P(ξ=0)=14+14×13=13,
P(ξ=1)=24×13+24×13×12+14×23×12=13,P(ξ=2)=1-13−13=13,
故E(ξ)=0×13+1×13+2×13=1.
四、解答题(本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中,挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
(1)求男生甲被选中的概率;
(2)在已知男生甲被选中的条件下,女生乙被选中的概率;
(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下,求女生乙被选中的概率.
解(1)记4名男生为A,B,C,D,2名女生为a,b,
从6名成员中挑选2人,所有可能的结果为
(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b),共15种,
不妨设男生甲为A,女生乙为b,设事件M=“男生甲被选中”,N=“女生乙被选中”,S=“被选中的两人为一男一女”.
(1)事件M所包含的可能的结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),
共5种,故P(M)=515=13.
(2)事件MN包含的可能的结果为(A,b),
则P(MN)=115,又P(M)=13,
故P(N|M)=P(MN)P(M)=15.
(3)事件S包含的可能的结果为(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),共8种,
事件SN包含的可能的结果为(A,b),(B,b),(C,b),(D,b),共4种,则P(S)=815,P(SN)=415,
故P(N|S)=P(SN)P(S)=12.
18.一个袋中有10个大小相同的球,其中标号为1的球有3个,标号为2的球有5个,标号为3的球有2个.第一次从袋中任取一个球,放回后第二次再任取一个球(假设取到每个球的可能性都相等).记两次取到球的标号之和为X.
(1)求随机变量X的分布列;
(2)求随机变量X的均值.
解(1)依题意,随机变量X的可能取值为2,3,4,5,6,则P(X=2)=310×310=9100,
P(X=3)=310×510×2=310,
P(X=4)=310×210×2+510×510=37100,
P(X=5)=510×210×2=15,
P(X=6)=210×210=125.
故随机变量X的分布列为
X
2
3
4
5
6
P
9100
310
37100
15
125

(2)由(1)可知,
E(X)=2×9100+3×310+4×37100+5×15+6×125=195.
19.某学习小组有6名同学,其中4名同学从来没有参加过数学研究性学习活动,2名同学曾经参加过数学研究性学习活动.
(1)现从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动,求恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率;
(2)若从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动,活动结束后,该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学人数ξ是一个随机变量,求随机变量ξ的分布列及均值.
解(1)记“恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件A,
则P(A)=C41C21C62=815.
故恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为815.
(2)依题意,随机变量ξ的取值可能为2,3,4,则P(ξ=2)=C42C62=25,P(ξ=3)=C41C21C62=815,
P(ξ=4)=C22C62=115.
故随机变量ξ的分布列为
ξ
2
3
4
P
25
815
115

E(ξ)=2×25+3×815+4×115=83.
20.甲、乙二人进行一次象棋比赛,每局胜者得1分,负者得0分(无平局),约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束.设在每局比赛中,甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛结果相互独立,已知前3局中,甲得1分,乙得2分.
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;
(2)设从第4局开始到比赛结束所进行的局数为X,求X的分布列及均值.
解(1)设“甲获得这次比赛胜利”为事件A,
则P(A)=233+C31×233×13=1627,
故甲获得这次比赛胜利的概率为1627.
(2)依题意,X的取值可能为2,3,4,
则P(X=2)=132=19,
P(X=3)=233+C21×23×132=49,
P(X=4)=C32×232×13×1=49.
故X的分布列为
X
2
3
4
P
19
49
49

E(X)=2×19+3×49+4×49=103.
21.某娱乐活动中,共有5扇门,游戏者根据规则开门,并根据打开门的数量获取相应奖励.已知开每扇门相互独立,且规则相同,开每扇门的规则是:从给定的6把钥匙(其中有且只有1把钥匙能打开门)中,随机地逐把抽取钥匙进行试开,钥匙使用后不放回.若门被打开,则转为开下一扇门;若连续4次未能打开,则放弃这扇门,转为开下一扇门;直至5扇门都进行了试开,活动结束.
(1)设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数,求X的分布列及均值E(X);
(2)求恰好成功打开4扇门的概率.
解(1)由题意可知,随机变量X的可能取值为1,2,3,4,
则P(X=1)=16,P(X=2)=56×15=16,
P(X=3)=56×45×14=16,P(X=4)=56×45×34×1=12.
故随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
16
16
16
12

E(X)=1×16+2×16+3×16+4×12=3.
(2)每扇门被打开的概率为P=1-56×45×34×23=23,
设“恰好成功打开4扇门”为事件A,则P(A)=C54×234×13=80243.
22.一次大型考试后,某年级对某学科进行质量分析,随机抽取了40名学生的成绩,分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.

(1)从抽取的成绩在[50,60),[90,100]之间的学生中,随机选择三名学生进行进一步调查分析,记X为这三名学生中成绩在[50,60)之间的人数,求X的分布列及均值E(X).
(2)①求该年级全体学生的平均成绩x与标准差s的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(精确到1)
②如果该年级学生该学科的成绩服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ分别近似为①中的x,s,那么从该年级所有学生中随机选三名学生做分析,求这三名学生中恰有两名学生的成绩在区间(62,95)的概率.(精确到0.01)
附:29≈5.385,P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5.
解(1)由频率分布直方图,可知40名学生中成绩在[50,60),[90,100]之间的人数均为4.
X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=C43C83=114,P(X=1)=C41C42C83=37,
P(X=2)=C42C41C83=37,P(X=3)=C43C83=114.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
114
37
37
114

E(X)=0×114+1×37+2×37+3×114=1.5.
(2)①x=55×0.1+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.1=73,s=
(55-73)2×0.1+(65-73)2×0.3+(75-73)2×0.4+(85-73)2×0.1+(95-73)2×0.1
=116=229≈11.
②由①,可知成绩在区间(62,95)的概率为12×0.954 5+12×0.682 7=0.818 6,
记“三名学生中恰有两名学生的成绩在区间(62,95)”为事件A,
则P(A)=C32×0.818 62×(1-0.818 6)≈0.36.