高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.4 二面角同步测试题

1.2.4 二面角

一、   概念练习

1.已知菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面DAC，则二面角的余弦值为()

A.2 B. C. D.

2.在正方体中，点E为的中点，则平面与平面ABCD的夹角的余弦值为()

A. B. C. D.

3.如图,在四棱锥中,底面ABCD是直角梯形,,,,,平面ABCD,则二面角的大小为(   )
A.30° B.60° C.120° D.150°

4.如图所示，五面体ABCDE中，正三角形ABC的边长为1，平面ABC,，且.设CE与平面ABE所成角的大小为，若,则当k取最大值时，平面BDE与平面ABC所成角的正切值为(   )

A. B.1 C. D.

5.如图，在四面体中，为等边三角形，，二面角的大小为，则的取值范围是(   )

A. B. C. D.

二、能力提升

6.如图,在空间直角坐标系中,四棱柱为长方体,,点为的中点,则二面角的余弦值为()

A. B. C. D.

7.如图,已知E,F分别是棱长为1的正方体的棱BC,的中点,则截面与底面ABCD所成的锐二面角的正弦值为(   )

A. B. C. D.

8.（多选）如图，在直三棱柱中，，,D,E分别是线段BC,上的动点（不含端点），且，则下列说法正确的是(   )

A.平面

B.该三棱柱的外接球的表面积为

C.异面直线与所成角的正切值为

D.二面角的余弦值为

9.（多选）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，，，平面平面ABCD，为等腰直角三角形，且，O为底面ABCD的中心，B为PD的中点，F在棱PA上，若，，则下列说法正确的有()

A.异面直线PO与AD所成角的余弦值为

B.异面直线PO与AD所成角的余弦值为

C.若平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为，则

D.若平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为，则

10.（多选）若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列结论正确的有(   )
A.AD与BC所成的角为45°

B.AC与BD所成的角为90°

C.BC与平面ACD所成角的正弦值为

D.平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是

11.已知点E，F分别在正方体的棱，上，且，，则平面AEF与平面ABC所成角的正切值为________________.

12.如图所示，已知四棱锥中，底面ABCD是菱形，且平面ABCD,，点F为PC的中点，则二面角的正切值为_______.
 

13.设平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,则二面角的大小为_________________.

14.如图,和都是边长为2的正三角形,且它们所在平面互相垂直.平面,且.

(1)设P是的中点,求证:平面.

(2)求二面角的正弦值.

15.如图，PO是三棱锥的高，，，E是PB的中点.

（1）求证：平面PAC；

（2）若，，，求二面角正余弦值.

答案以及解析

1.答案：D

解析：设菱形ABCD的边长为1，取AC的中点O，连接BO、DO，因为，所以，又平面平面DAC，平面平面，所以平面ACD，如图建系，则，，，，

所以，，.

设平面BCD的法向量为，则即

令，得，，则，易知平面CDA的一个法向量为，所以，故选D.

2.答案：B

解析：以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，，

，.

设平面的法向量为，则有即令，得.

易得平面ABCD的一个法向量，，

即平面与平面ABCD的夹角的余弦值为.

3.答案：C

解析：取BC的中点M，连接DM，由已知可得四边形ADMB为正方形，易得DM,DA,DP两两互相垂直，故以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

则，，，，，所以，，
设平面PAB的一个法向量为，
则即
令，则，所以.
设平面PBC的一个法向量为,
易得，，
所以即
令，则，所以，
所以.
易知二面角的平面角为钝角，
所以二面角的大小为120°.
故选C

4.答案：C

解析：结合题意，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,

则，，，，，所以，
取AB的中点M，连接CM，
则，则平面ABE的一个法向量为，
由题意得，
又，所以，解得或（舍去），
所以k的最大值为.
当时，，，
设平面BDE的一个法向量为，
则
令，得，，所以，易知平面ABC的一个法向量为，
设平面BDE与平面ABC所成的角为，易知为锐角，
所以，所以，所以.故选C.

5.答案：C

解析：以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系.

因为为等边三角形，所以不妨设.
因为，所以设.
因为当时，A、B、C、D四点共面，不能构成空间四面体，所以，
则，，，
所以，，.
设平面BAD的一个法向量为,则，所以.
设平面ADC的一个法向量为,则即
令，则，，
所以.
因为二面角的大小为，
且由题图可知二面角为锐二面角，
所以

，
因为，所以，
即，所以.
故选C.

6.答案：C

解析：设,则,,,所以.设是平面的一个法向量,则,即,所以,取,可得.又平面,所以是平面的一个法向量.因为,又二面角为锐二面角,所以二面角的余弦值为,故选C.

7.答案：C

解析：以D为坐标原点，以DA,DC, 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，.
设平面的法向量为，则,即,
取，则为平面的一个法向量.又平面ABCD的一个法向量为，,.

8.答案：AD

解析：在直三棱柱中，

四边形是矩形，所以，

因为，所以，

又平面,平面，

所以平面，故A项正确；

因为，所以，

因为，所以，

易知为直角三角形，所以，

易知是三棱柱外接球的直径，

所以三棱柱外接球的表面积，故B项错误；

因为，所以异面直线与所成角为.

在中，，

所以，故C项错误；

连接，则二面角即二面角，

以A为坐标原点，以，，的方向分别为x轴，

y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，

则即

令，可得，

设平面的一个法向量为，

则即

令，可得，

所以，

故二面角的余弦值为，

故D项正确.故选AD.

9.答案：BC

解析：，

，

平面平面ABCD，

平面平面，平面PAD，

平面ABCD，

底面ABCD为矩形，，AD，AP两两垂直.

以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，

，，

，

异面直线PO与AD所成角的余弦值为，故A错，B对.

由题易得，平面PAD，

取平面PAD的一个法向量.

，，，

，，

设平面OEF的法向量为，

易知，，

则即

令，得，

平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为，

，

而，

，解得，

故C对，D错.

故选BC.

10.答案：BCD

解析：取BD的中点O，连接AO,CO.
若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则,,，
以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，，，
，，
，
AD与BC所成的角为60°，故A不正确；
易得，，
，，故B正确；
设平面ACD的一个法向量为，
则取，则，
，
设BC与平面ACD所成的角为，
，故C正确；
易知平面BCD的一个法向量，
，，
设平面ABC的一个法向量为，
则取，则，
，，
设平面ABC与平面BCD的夹角为，
则，
，，
平面ABC与平面BCD所成角的正切值是，故D正确.故选BCD.

11.答案：

解析：如图，以点D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，

设，由已知条件得，，，，，则，，.

设平面AEF的法向量为，

平面AEF与平面ABC所成角为，

由得

令，则，，

所以，

易得平面ABC的一个法向量，

则，

又，所以，所以.

12.答案：

解析：如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.

设，则，所以，，，，，易知为平面BDF的一个法向量.设平面BCF的法向量为.,,则，令，可得平面BCF的一个法向量为，所以，，所以.故二面角的正切值为.

13.答案：60°或120°

解析：由二面角定义得或120°.

即二面角的大小为60°或120°.

14.答案：(1)见解析

(2)

解析：(1)证明：取的中点O,连接.

是正三角形,

.

∵平面平面,平面平面,

平面.

平面,

.

在中,,

.

又,

为等腰三角形.

是的中点,.

平面,

.

平面平面,

平面.

(2)由(1)知,,

∴四边形为平行四边形,

,

.

以点O为坐标原点,以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图的空间直角坐标系,

则, ,

.

设平面的法向量为,

则即

令,则,

.

设平面的法向量为,

则即

令,则,

.

.

,

∴二面角的正弦值为.

15.答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.

因为，所以.

因为PO为三棱锥的高，所以平面ABC，
因为平面ABC，所以.

又平面POD，且，所以平面POD.

因为平面POD，所以，
又，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.
因为D，E分别为BA，BP的中点，所以，
因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.
又平面ODE，，
所以平面平面PAC.
又平面ODE，所以平面PAC.
（2）连接OA，
因为平面ABC，平面ABC，
所以，，
所以.

易得在中，，
所以，，
又，
所以在中，.
以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，

设平面AEC的法向量为，
则，即，
令，则.
设平面AEB的法向量为，
则，即，令，则.
所以.
设二面角的大小为，
则.