高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.3 直线与平面的夹角精练

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.3 直线与平面的夹角精练，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课时作业(八)　直线与平面的夹角一、选择题1．如图，在三棱锥D－ABC中，DC⊥平面ABC，DC＝1，且△ABC为边长等于2的正三角形，则DA与平面DBC所成角的正弦值为(　　)A.  B.  C.  D.答案：B2．正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长为2，侧棱长为2，则B1C与平面AA1B1B所成的角为(　　)A．30°  B．60°  C．45°  D．90°答案：A3．(2022四川阆中中学月考)如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为(　　)A.  B.  C.  D.答案：C4．(多选题)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的是(　　)A．AC⊥BDB．AB，CD所成角为C．△ADC为等边三角形D．AB与平面BCD所成角为60°答案：ABC解析：如图，取BD的中点O，连接AO，CO，易知BD⊥平面AOC，故BD⊥AC.如图，建立空间直角坐标系． 设正方形边长为a，则A，B，C，D.故＝，＝.由两向量夹角公式得cos〈，〉＝－，故两异面直线所成的角为.在Rt△AOC中，由AO＝CO＝a，AO⊥CO，所以AC＝AO＝a，故△ADC为等边三角形．易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角，可求得∠ABO＝45°，故D错．5．(多选题)(2022黑龙江鹤岗第一中学月考)正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB，则(　　)A．AC1与底面ABC所成的角的正弦值为B．AC1与底面ABC所成的角的正弦值为C．AC1与侧面AA1B1B所成的角的正弦值为D．AC1与侧面AA1B1B所成的角的正弦值为答案：BC解析：如图，取A1C1中点E，AC中点F，并连接EF，则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则AA1＝2.∴A1(0，－1,0)，C1(0,1,0)，A(0，－1,2)，C(0,1，2)，B1(，0,0)，＝(0,2，－2)．底面ABC的一个法向量为m＝(0,0,2)，∴AC1与底面 ABC所成的角的正弦值为|cos〈m，〉|＝＝＝，∴A错，B对．∵A1B1的中点K的坐标为，∴侧面AA1B1B的其中一个法向量为＝，∴AC1与侧面AA1B1B所成的角的正弦值为|cos〈，〉|＝＝＝，故C对，D错．故选BC.二、填空题6．已知直线a在平面α上的射影为a′，a与a′所成的角为，直线b⊂α，则a与b所成角θ的范围是________．答案：7．(2022北京首都师范大学附属中学月考)已知平面α的一个法向量n＝，A∈α，P∉α，且＝，则直线PA与平面α所成的角为________．答案：8．(2022浙江宁波市鄞州中学模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，AB的中点，则EF与直线AC1所成角的大小为______ ；EF与对角面BDD1B1所成角的正弦值是 ________.答案：　解析：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则E(2,0,1)，F(2,1,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，故＝(0,1，－1)，＝(－2,2,2)．故·＝0，故EF与直线AC1所成角的大小为.易知对角面BDD1B1的一个法向量为n＝(1，－1,0)，设EF与对角面BDD1B1所成角为θ，故sin θ＝＝＝.三、解答题9．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，在侧棱CC1上求一点P，使得直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3.解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设CP＝m(m>0)，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，所以＝(－1，－1,0)，＝(0,0,1)，＝(－1,1，m)，＝(－1,1,0)．因为·＝0，·＝0，所以为平面BDD1B1的一个法向量．设AP与平面BDD1B1所成的角为θ，则sin θ＝cos＝＝，所以cos θ＝＝.因为tan θ＝＝＝3，所以m＝.故当＝时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3.