高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.4 点到直线的距离同步练习题

课时作业(十五)　点到直线的距离

一、选择题

1．(2022上海嘉定模拟)过点(1,3)且与原点相距为1的直线共有(　　)

A．0条  B．1条  C．2条  D．3条

答案：C

解析：当斜率不存在时，过点(1,3)的直线为x＝1，原点到直线的距离为1，满足题意；当斜率存在时，设直线的斜率为k，则直线方程为y－3＝k(x－1)，

即kx－y＋3－k＝0，则原点到直线的距离d＝＝1，解得k＝，

即直线方程为4x－3y＋5＝0.综上，满足题意的直线有2条．故选C.

2．若点(1,2)到直线x－y＋a＝0的距离为，则实数a的值为(　　)

A．－2或2   B.或

C．2或0   D．－2或0

答案：C

3．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为(　　)

A．－6或   B．－或1

C．－或   D．0或

答案：A

4．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是(　　)

A．3x－4y＋4＝0

B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0

C．3x－4y＋16＝0

D．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0

答案：D

5．(2020全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)

A．1  B.  C.  D．2

答案：B

6．(多选题)(2022南京秦淮中学模拟)已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(　　)

A．直线l的倾斜角是

B．若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m

C．点(，0)到直线l的距离是2

D．过(2，2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0

答案：CD

解析：对于A，直线l：x－y＋1＝0的斜率k＝tan θ＝，故直线l的倾斜角是，故A错误；

对于B，因为直线m：x－y＋1＝0的斜率k′＝，kk′＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；

对于C，点(，0)到直线l的距离d＝＝2，故C正确；

对于D，过(2，2)与直线l平行的直线方程是y－2＝(x－2)，整理得x－y－4＝0，故D正确．

综上所述，正确的选项为CD.故选CD.

7．(多选题)若点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为    (　　)

A．(1,2)       B．(2,1)

C．(2，－1)      D．(－1,2)

答案：AC

二、填空题

8．已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则m＝________，它们之间的距离是________．

答案：2　

9．(2022北京海淀101中学模拟)已知△ABC中，点A(1,1)，B(4,2)，C(－4,6)，则三角形ABC的面积为________．

答案：10

解析：由两点式得直线BC的方程为＝，即为x＋2y－8＝0，由点A到直线的距离公式得BC边上的高d＝＝，BC两点之间的距离为＝4，

∴△ABC的面积为×4×＝10.

三、解答题

10．(2022广东东莞四中模拟)已知△ABC的三个顶点是A(0,3)，B(2,1)，C(－1，m)．

(1)求边AB的垂直平分线方程；

(2)若△ABC的面积为8，求实数m的值．

解：(1)∵A(0,3)，B(2,1)，

∴线段AB的中点坐标为(1,2)．

记边AB的垂直平分线为l，则kAB·kl＝－1，

∴·kl＝－1，得kl＝1，

∴线段AB的垂直平分线l的方程为y－2＝1·(x－1)，即x－y＋1＝0.

(2)∵|AB|＝＝2，

直线AB：y－1＝－1×(x－2)，即x＋y－3＝0，

设点C到直线AB的距离为d，则

d＝＝，

∴S＝|AB|·d＝×2×＝8，

∴|m－4|＝8，

∴m＝12或－4.

11．(2022山东泰安一中月考)已知点P(2，－1)，求：

(1)过点P与原点距离为2的直线l的方程．

(2)过点P与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？

(3)是否存在过点P与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．

解：(1)设直线l：a(x－2)＋b(y＋1)＝0，则＝2.

解得b＝0或b＝－a，故直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.

(2)过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，

由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，所以kl＝－＝2，

由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，

即直线2x－y－5＝0是过P点与原点O距离最大的直线，最大距离为.

(3)不存在．理由：由(2)知过点P不存在到原点距离超过的直线，

所以不存在过点P且到原点距离为6的直线．