高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质同步测试题

课时作业(二十二)　椭圆的几何性质

一、选择题

1．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是(　　)

A．3   B．3或

C.   D.或

答案：B

2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

答案：D

3．(2022山东德州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋y2＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

答案：A

4．(2022湖北荆门模拟)曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的(　　)

A．长轴长相等   B．短轴长相等

C．离心率相等   D．焦距相等

答案：D

5．(2021全国乙卷理)设B是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　)

A.    B.　

C.   D.

答案：C

解析：方法一：易知B(0，b)．设P(acos θ，bsin θ)，

|PB|＝

＝

＝

∵b2－a2＜0，

∴当0＜≤1，sin θ＋＝0时，

|PB|取得最大值，

由整理得a2＝2b2，

此时椭圆C的离心率e＝＝，

当＞1时，sin θ＝－1时，|PB|取得最大值2b，

由＞1得a2＜2b2，

此时椭圆C的离心率e＝＜，

又e＞0，

∴0＜e≤.

方法二：由题意，点B(0，b)，设P(x0，y0)，

则有|PB|2＝x＋(y0－b)2

＝a2＋y－2by0＋b2

＝－y－2by0＋2b2＋c2≤4b2，

∴(y0＋b)≤0，

∵－b≤y0≤b，

∴y0＋b≥0，

故－y0＋≤0恒成立，

即－(－b)＋≤0恒成立，

∴a2≥2c2，故e∈.

6．(2021全国乙卷)设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　)

A.   B.  C.  D．2

答案：A

解析：方法一：由题意知B(0,1)．设点P的坐标为(x，y)(－1≤y≤1)，则|PB|＝①.由＋y2＝1，得x2＝5(1－y2)②.把②代入①，得|PB|＝＝ (－1≤y≤1)．易知当y＝－时，|PB|max＝.故选A.

方法二：由题意知B(0,1)．设点P(cos θ，sin θ)，θ为参数，则|PB|2＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2＝－4sin2θ－2sin θ＋6.又因为－1≤sin θ≤1，所以当sin θ＝－时，(|PB|2)max＝－＋＋6＝，所以|PB|max＝.故选A.

7．(多选题)若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)

A.  B．－3  C．3  D.

答案：AB

解析：若焦点在x轴上，则＝1－2＝，

∴k＝；

若焦点在y轴上，则＝，∴k＝－3.

8．(多选题)P为椭圆C上任一点，且焦点为F－1，F－2，若P到焦点F－1的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2，则椭圆C的标准方程为    (　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

答案：BC

解析：依题意

即a＝2，c＝2，

∴b2＝a2－c2＝16，

故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

9．(多选题)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F－1，F－2，且椭圆上存在点P，使△PF－1F－2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为    (　　)

A.－1  B.  C.－1  D.

答案：AD

解析：当P为直角顶点时，则c＝b，

∴c2＝b2＝a2－c2，即a2＝2c2，∴e＝.

当F1(或F2)为直角顶点时，|PF1|＝|F1F2|，

∴＝2c，即b2＝2ac，

∴c2＋2ac－a2＝0，即e2＋2e－1＝0，

又0<e<1，e＝－1，

综上e＝或－1.

二、填空题

10．(2022山东泰安模拟)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的半长轴长与半短轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为20π，则椭圆C的标准方程为________.

答案：＋＝1

解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，椭圆C的面积为S＝πab＝20π，

又e＝＝，解得a2＝，b2＝12，所以椭圆C的方程为＋＝1.

11．焦点在x轴上的椭圆，焦距|F1F2|＝8，离心率为，椭圆上的点M到焦点F1的距离2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________．

答案：4

三、解答题

12．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．

(1)椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；

(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为.

解：(1)由题意知，2c＝8，c＝4，

所以e＝＝＝，所以a＝8，

从而b2＝a2－c2＝48，

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)由已知

所以从而b2＝9，

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

13．(2022山东潍坊模拟)已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点.

(1)求椭圆M的标准方程；

(2)设椭圆M的焦点为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．

解：(1)N的焦点为(－2,0)，(2,0)，设M方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2，则把a2＝b2＋4代入＋＝1，

则有＋＝1，整理得5b4－11b2＋16＝0，

故b2＝1或b2＝(舍)，a2＝5，故椭圆方程为＋y2＝1.

(2)F1(－2,0)，F2(2,0)，设P(x0，y0)，

则△PF1F2面积为×4×|y0|＝1，则y0＝±，而＋y＝1 ，

所以x＝，x0＝±，所以P点有4个，它们的坐标分别为，，，.