高中数学2.2.3 两条直线的位置关系练习题

【特供】2.2.3 两条直线的位置关系优质练习

一．填空题

1．直线与直线的夹角为________．

2．两平行直线分别经过点，，若这两平行线间距离取最大时，两直线的方程分别是________．

3．点在第一象限内，且在直线上移动，则的最大值是________.

4．过点且与直线l：垂直的直线方程为______.（请用一般式表示）

5．若实数满足，则的最小值是________.

6．过点且与直线相交成45°角的直线方程是________.

7．若直线的倾斜角是，则实数是_______________.

8．若点在过两点的直线上，则实数的值是________.

9．若直线与直线垂直，则________.

10．过点且倾斜角的正弦为的直线方程是________．

11．已知点，直线，则

（1）关于的对称点的坐标________；

（2）关于的对称直线方程________.

12．点到直线的距离是________.

13．设是不等式组表示的平面区域，则中的点到直线距离的最大值是________．

14．对任意的实数，，直线恒经过的一个定点的坐标是________．

15．已知直线：．：，若，则实数_________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据两条直线的倾斜角的关系，求出夹角的三角函数值即可得解.

详解：设直线的倾斜角为，

直线的倾斜角为，

直线与直线的夹角为，

，

所以，

所以直线与直线的夹角为.

故答案为：

【点睛】

此题考查求直线的夹角，需要熟练掌握直线倾斜角与斜率之间的关系，结合诱导公式求解.

2．【答案】，

【解析】计算，直线垂直时两平行线间距离最大，根据垂直关系得到直线方程.

详解：，当这两平行线间距离取最大时，平行直线斜率为.

故直线方程为和，

即和.

故答案为：，.

【点睛】

本题考查了求直线方程，意在考查学生的计算能力，确定垂直时距离最大是解题的关键.

3．【答案】

【解析】利用基本不等式，即可得出结论.

详解：点在第一象限内，，

又在直线上移动，

，

当且仅当，即时等号成立，

，即的最大值是.

故答案为：.

【点睛】

本题以直线方程为背景，考查基本不等式的应用，注意基本不等式求最值满足的条件，一“正”．二“定”．三“等”缺一不可，属于基础题.

4．【答案】

【解析】与直线垂直的直线方程可设为，再将点的坐标代入运算即可得解.

详解：解：与直线l：垂直的直线方程可设为，

又该直线过点，

则，

则，

即点且与直线l：垂直的直线方程为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了与已知直线垂直的直线方程的求法，属基础题.

5．【答案】

【解析】方程表示直线,表示点与直线上的动点的距离的平方．当时，取得最小值，利用点到直线的距离公式计算即可求得结果.

详解：方程表示直线,设直线上的动点，

表示点与动点的距离的平方．

当时，取得最小值，

因为，所以的最小值是

故答案为：.

【点睛】

本题考查两点间距离公式，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题.

6．【答案】或

【解析】先求出直线的倾斜角，再根据题意进行求解即可.

详解：因为直线的斜率为1，所以该直线的倾斜角为45°，

当过点且与直线相交成45°角的直线不存在斜率时，

直线方程为，符合题意；

当过点且与直线相交成45°角的直线存在斜率时，设为，

而直线的倾斜角也为为45°，故，即.

故答案为：或

【点睛】

本题考查了求直线的方程，考查了直线与直线的所成角的定义，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.

7．【答案】

【解析】根据直线方程得直线斜率，结合倾斜角列方程，解得结果.

详解：因为直线的倾斜角是，

所以直线的斜率为

因此

或（舍）

故答案为：

【点睛】

本题考查斜率与倾斜角关系．由直线方程求直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题.

8．【答案】

【解析】先由直线过两点，求出直线方程，再利用点在直线上，求出的值.

详解：由直线过两点，得，

则直线方程为：，得，

即，又点在直线上，得，得.

故答案为：

【点睛】

本题考查了已知两点求直线的方程，直线方程的应用，属于容易题.

9．【答案】

【解析】由两直线垂直求出的值，然后利用二倍角的正弦公式结合弦化切的思想可求出的值.

详解：由于直线与直线垂直，则，

可得，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查二倍角正弦值的计算，涉及利用两直线垂直求参数以及弦化切思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.

10．【答案】或

【解析】设直线倾斜角为，根据题意得，求出，进而得到直线的斜率，即可求出直线的点斜式方程，化简即可.

详解：设直线倾斜角为，根据题意得，

则.

则，

或

直线过点，所以直线方程为，

即

或，即.

故答案为：或.

【点睛】

本题考查直线方程的求法，斜率的求法，考查运算能力，属于基础题.

11．【答案】

试题分析：（1）设关于的对称点的坐标为，的中点在直线上，设直线的斜率为，列出方程组即可解得点的坐标.

（2）依题意，可求得直线与直线的交点坐标，在直线任取一点，求出点关于直线的对称点的坐标，利用点斜式即可求解.

详解：（1）设关于的对称点的坐标为，

则的中点在直线上，

设直线的斜率为，

直线的斜率为，该直线与直线垂直，

，

，整理可得，

两式相加解得，

两式相减解得，

所以关于的对称点的坐标为.

（2）由，解得，

即直线与直线的交点坐标为，

设关于的对称直线为，则必过，

在直线任取一点，

由（1）点关于直线的对称点的坐标为，

直线为的斜率，

所以直线为的方程为，

整理可得，

化简可得.

故答案为：；

【点睛】

本题考查了点关于直线对称．直线关于直线对称．中点坐标公式．点斜式方程，属于基础题.

【解析】

12．【答案】

【解析】利用点到直线的距离公式即可求解.

详解：点到直线的距离：

.

故答案为：

【点睛】

本题考查了点到直线的距离公式，需熟记公式，属于基础题.

13．【答案】

【解析】首先根据题意画出约束条件对应的可行域，欲求区域D中的点到直线的距离的最大值，由其几何意义可知区域D内的点到直线的距离即为所求，代入计算即可得答案.

详解：如图可行域为阴影部分，

由其几何意义为区域D的点到直线的距离最大，

由解得，即，

由点到直线的距离公式可得，

所以D中的点到直线的距离的最大值为，

故答案为：

【点睛】

该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出可行域，理解目标函数的意义，结合图形求得结果，属于简单题目.

14．【答案】

【解析】将直线方程化为，根据条件可得，从而求答案.

详解：由直线整理得

对任意的实数，，直线恒经过的一个定点.

所以，解得

由点代入直线，

满足

所以点在直线上，

即直线恒过定点

故答案为:

【点睛】

本题考查直线过定点的问题，属于中档题.

15．【答案】0或

【解析】若直线：与直线：垂直，则，代入数据计算即得.

详解：直线：．：，且，

,即，

解得或.

故答案为：或.

【点睛】

本题考查直线的位置关系，属于基础题.