高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程课时作业

【精品】2.5.1 椭圆的标准方程优选练习

一．填空题

1．直线l：过椭圆左焦点和一个顶点B，则该椭圆的离心率为_____.

2．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两焦点距离之和为_____.

3．已知点到定点的距离和它到定直线的距离的比是，则点的轨迹方程为________；

4．设是椭圆的一个焦点，是椭圆上的点，圆与线段交于,两点，若,三等分线段，则椭圆的离心率为____________.

5．已知动圆过定点，且与圆相切，则动圆的圆心的轨迹方程是_______．

6．已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线与椭圆相交于A？B两点.若|AF|+|BF|=4，点P到直线l的距离不小于则椭圆C离心率的取值范围为___.

7．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是________．

8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左．右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若＝2，则椭圆的离心率为________.

9．已知椭圆的离心率e的取值范围为，直线交椭圆于点M，N，O为坐标原点且，则椭圆长轴长的取值范围是______．

10．椭圆上点的纵坐标的取值范围是______.

11．已知椭圆的左．右焦点分别为，为椭圆上的动点，若动点满足且，则点到双曲线一条渐近线距离的最大值为______.

12．已知一动圆C内切于圆，且过定点，则动圆圆心C的轨迹方程是_____________.

13．椭圆的短轴长为___________.

14．椭圆的离心率是______．

15．椭圆的短轴长为________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据直线方程得到左焦点和顶点B的坐标，进而求得的值，再利用，求出的值，在带路离心率公式.

详解：由题意得，，

，，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆离心率的求解，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，求解时注意的应用.

2．【答案】8

【解析】分析：由椭圆方程求出，再根据椭圆的定义可求得结果.

详解：由，得，

由椭圆的定义可得到该椭圆的两个焦点的距离之和为.

故答案为：

3．【答案】.

【解析】首先设，再根据题意列出等式化简即可.

详解：设点，由题知

，即.

整理得：.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，根据题意列出关于的等式为解题的关键，属于中档题.

4．【答案】

【解析】分析：取AB中点H后，证明H为PF中点，从而在直角三角形OFH中，利用勾股定理，找到，求出离心率.

详解：

如图示，取AB中点H，连结OH，则OH⊥AB，设椭圆右焦点E，连结PE

∵AB三等分线段PF，∴ H为PF中点.

∵O为EF中点，∴OH∥PE

设OH=d,则PE=2d，∴PF=2a-2d，BH=

在直角三角形OBH中，,即，解得：.

在直角三角形OFH中，,即，解得：，

∴离心率.

故答案为：

【点睛】

求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a．b．c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率．

5．【答案】

【解析】根据圆心到定点与圆圆心的距离之和为定值判断即可.

详解：圆即圆,圆心为,半径为.

又因为在圆内,故动圆与圆内切.

设动圆半径为,则圆心到与的距离之和为.

故动圆的圆心是以与为焦点,的椭圆,

故.

故动圆的圆心的轨迹方程是.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了根据动圆相切时半径之和的关系以及椭圆的定义求解椭圆的方程的方法,重点在于找到半径之和为定值的关系.属于基础题.

6．【答案】

【解析】分析：设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：，，可得，解得．根据点到直线的距离不小于可得，解得范围，根据离心率即可得出．

详解：设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：，，

，解得．

点到直线的距离不小于，

，解得，

又，．

离心率

故答案为：

7．【答案】

【解析】将方程化为标准形式，结合椭圆的几何性质求解即可.

详解：时不合题意，

时，由可得，

因为方程表示焦点在轴上的椭圆，

所以，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查椭圆的标准方程，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题.

8．【答案】

【解析】分析：过点作轴，垂直为，由三角形相似得到点的坐标，代入椭圆方程，变形求椭圆的离心率.

详解：， 设，

过点作轴，垂直为，

如图

由且＝2，

，，

代入椭圆方程得，

解得：.

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆的性质，重点考查数形结合分析问题的能力，本题的关键是利用三角形相似求得点的坐标，属于中档题型.

9．【答案】

【解析】分析：设，，联立和韦达定理求出，再根据，求出椭圆长轴长的取值范围.

详解：联立，化简得

设，，则，

由，则

即，化简得，

，

，，即，

解得：，

所以椭圆长轴长的取值范围是

故答案为：

【点睛】

思路点睛：本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的简单几何性质，解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线．椭圆的条件；

（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系．弦长．斜率．三角形的面积等问题．

10．【答案】

【解析】将椭圆化为标准方程，从而得到答案.

详解：椭圆的标准方程为，

从而得到点的纵坐标的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆上点的范围，属于简单题.

11．【答案】

【解析】分析：由题意结合椭圆定义求得的轨迹，求出双曲线的一条渐近线方程，再求出到渐近线的距离，则答案可求．

详解：椭圆的则，若动点Q满足且，

则三点共线，且同向，由，

所以Q的轨迹为以为圆心，6为半径的圆，

双曲线的一条渐近线方程设为，

由圆心到渐近线的距离为，

所以点到双曲线一条渐近线距离的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆与双曲线的综合，考查动点的轨迹的求法和点到直线距离公式的应用，考查圆上的点到直线的距离的最大值，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

12．【答案】

【解析】分析：依据题意列出式子，结合椭圆的定义可知结果.

详解：圆的圆心，

由题可知：，所以可知圆心C的轨迹为焦点在轴上的椭圆

设椭圆方程为

所以，则，所以

所以椭圆方程为：

故答案为：

13．【答案】

【解析】分析：根据椭圆方程确定焦点位置求解.

详解：因为，

所以椭圆的焦点在y轴上，

所以，

则椭圆的短轴长为.

故答案为：

14．【答案】

【解析】分析：求出．．的值，即可得出椭圆的离心率.

详解：在椭圆中，，，，

因此，椭圆的离心率是.

故答案为：.

15．【答案】

【解析】分析：将椭圆方程化为标准方程，求出的值，即可求得结果.

详解：椭圆的标准方程为，则，，

因此，椭圆的短轴长为.

故答案为：.