数学人教B版 (2019)2.5.1 椭圆的标准方程课堂检测

【精编】2.5.1 椭圆的标准方程-1优选练习

一．填空题

1．已知，是椭圆（）的左，右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则与的面积之比为________．

2．已知椭圆的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点P在椭圆G上，且满足．当b变化时，给出下列三个命题：

①点P的轨迹关于y轴对称；

②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；

③的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是___________．

3．椭圆的右焦点坐标为_________.

4．已知椭圆，是坐标平面内的两点，且与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在椭圆上，则__________.

5．在平面直角坐标系中，过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，为椭圆的右焦点，且是等腰直角三角形，且，则椭圆的离心率为_________.

6．已知椭圆的中心在坐标原点，左？右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，，成等差数列，椭圆的标准方程________.

7．已知是椭圆的左右顶点，是的右焦点，点在上且满足（为坐标原点），其中在直线上，若线段的中点在直线上，则椭圆的离心率为___________

8．设椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点.当的周长最大时，的面积为，则椭圆的离心率________．

9．已知点为椭圆的左顶点，为椭圆的右焦点，，在椭圆上，四边形为平行四边形(为坐标原点)，点到直线的距离等于，则椭圆的离心率为___________.

10．直线交椭圆于，两点，．是椭圆的右焦点，若，则________．

11．已知椭圆：的焦点为，，如果椭圆上存在一点，使得，且的面积等于4，则的取值范围为________.

12．如图是数学家用来证明一个平面截圆锥得到的截面是椭圆的模型(称为丹德林双球模型)：在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面？截面相切，设图中球和球的半径分别为1和3，，截面分别与球和球切于点和，则此椭圆的长轴长为___________.

13．已知椭圆的左？右焦点分别为，直线与椭圆C相交于点A，B.给出下列三个命题：

①存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形；

②存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形；

③存在m，使的周长最大.

其中，所有真命题的序号为_________.

14．在平面直角坐标系中，，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为________.

15．已知椭圆的焦点为，P是椭圆上一点，且是，的等差中项，则椭圆的方程是___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：根据椭圆的定义，运用勾股定理．三角形面积公式进行求解即可.

详解：设，由椭圆的定义可知：

所以因为，所以,

即，

解得或，

当时，所以不符合题意，故舍去，

因此，所以

，

与的面积之比为：

，

故答案为：

【点睛】

关键点睛：根据椭圆的定义结合勾股定理，选择合适的三角形面积公式是解题的关键.

2．【答案】①③

【解析】分析：运用椭圆的定义可得也在椭圆上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；

通过的变化，可得②不正确；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断③．

详解：解：椭圆的两个焦点分别为

，和，，

短轴的两个端点分别为和，

设，点在椭圆上，且满足，

由椭圆定义可得，，

即有在椭圆上．

对于①，将换为方程不变，则点的轨迹关于轴对称，

故①正确；

对于②，由图象可得轨迹关于，轴对称，且，

则椭圆上满足条件的点有4个，

不存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个，故②不正确；

对于③，点靠近坐标轴时或，越大，点远离坐标轴时，越小，所以，即时，取得最小值，此时，与

两方程相加得，即的最小值为 2，故③正确．

故答案为：①③．

【点睛】

本题考查椭圆的对称性及由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆，及到定点距离的最值的判断．

3．【答案】

【解析】分析：利用椭圆方程求出，，然后求解，即可得到焦点坐标．

详解：椭圆，可得，，，椭圆的右焦点坐标为：．

故答案为：．

4．【答案】12

【解析】分析：根据已知条件，作出图形，的中点连接椭圆的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为，即可求出．

详解：设的中点为，椭圆的左右焦点分别为，，

如图，连接，，

是的中点，是的中点，

是的中位线；

，同理；

，

在椭圆上，

根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知：

，．

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题考查椭圆的定义以及椭圆的标准方程，解决本题的关键点是连接的中点和椭圆的两个焦点，便会得到三角形的中位线，利用椭圆的定义求得答案，考查学生数形结合能力和计算能力，属于中档题．

5．【答案】

【解析】分析：设，由题意结合椭圆性质可得，，由等腰直角三角形性质可得，再由直角三角形性质可得，最后利用即可得解.

详解：如图所示，设，由椭圆定义可得，

是等腰直角三角形，且，

，，，

，，，

在中，，，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了椭圆性质的应用和离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.

6．【答案】

【解析】分析：根据题意结合椭圆定义可得，设代解得代回方程即可.

详解：解：因为是椭圆上一点，且，，成等差数列

所以，所以，

故椭圆方程可设为代解得

所以椭圆方程为

故答案为：

【点睛】

椭圆几何性质的应用技巧：

（1）与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形；

（2）椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如：，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系.

7．【答案】

【解析】分析：不妨设点在第一象限，求得，，进而得到的直线方程，求得，再根据和相似，得到，得出，即可求解.

详解：由题意知，椭圆的左右顶点，是的右焦点，

不妨设点在第一象限，令，解得，故，所以，

又因为过点的直线方程为  ，

令，解得，所以，

因为和相似，所以，所以，整理得，

所以椭圆的离心率为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．

8．【答案】

【解析】分析：首先根据椭圆定义分析，分析当的周长最大时，直线的位置，再求的面积，得到椭圆的离心率.

详解：设椭圆的右焦点为，，当直线过右焦点时，等号成立，

的周长，

此时直线过右焦点，，

，得.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题考查椭圆内的线段和的最值问题，关键是利用两边和大于第三边，只有三点共线时，两边和等于第三边，再结合椭圆的定义，求周长的最值.

9．【答案】

【解析】分析：根据椭圆的对称性先求出点的坐标，从而求出直线的方程，根据点到直线的距离建立方程，从而求出离心率.

详解：由四边形为平行四边形，则,且

不妨设，在轴上方，点在第一象限.

由椭圆的对称性可得，则

所以，则

所以直线的方程为：，即

所以点到直线的距离为：

化简得，即

解得 ，所以取

故答案为：

【点睛】

关键点睛：本题考查求椭圆的离心率，解答本题的关键是根据托奥运的对称性得出，然后得出直线的方程，根据点到直线的距离得方程，属于中档题.

10．【答案】

【解析】分析：根据对角线互相平分得到四边形为平行四边形，又得到四边形为矩形，从而求得,,的长，接着由勾股定理及椭圆的定义求解即可.

详解：如图，连接 , ,

因为,,所以四边形为平行四边形，

又，所以四边形为矩形，

所以,则,

又直线可知,则,

根据勾股定理可知：，

由椭圆定义可知：，

所以.

故答案为：.

【点睛】

椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理．余弦定理．|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．

11．【答案】

【解析】分析：设，由得到在圆上，根据题意可得，根据的面积等于，得到点纵坐标，将圆与椭圆联立，表示出点纵坐标，从而得到的值，结合，得到的范围，从而求得的范围.

详解：设，，，

因为椭圆上存在一点，使得，

所以，即，

可得，

因为的面积等于，所以，即，

椭圆与圆联立，得，

所以，即，

因为，，所以，即，

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆的几何性质，向量数量积的坐标运算，焦点三角形的面积问题，属于中档题.

12．【答案】

【解析】分析：设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为，利用求得离心率，再利用平面几何知识求得得解

详解：如图，圆锥面与其内切球 分别相切与，连接，则，过作于，连接交于点，设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为，在△中,

 ,

, ,

△△ , 解得,

,

即 , 所以椭圆离心率为

在△中

解得,

故答案为：

【点睛】

利用求得离心率是解题关键.

13．【答案】①③

【解析】分析：首先根据题意得到，，，，设，.对①，分类讨论，，和，以及，即可判断①为真命题.对②，根据椭圆的对称性可知，，利用，解方程即可判断②为假命题，对③，利用椭圆的定义即可判断③为真命题.

详解：由题知：，，，，

设，.

对①，若，则，此时.

，，则，

所以，满足为等腰直角三角形.

若，则，

此时，，不满足等腰三角形.

若，则，

此时，，不满足等腰三角形.

所以存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形，故①为真命题.

对②，根据椭圆的对称性可知，，满足等腰三角形.

当时，根据椭圆的对称性可知：直线的倾斜角为，

，即.

又因为，所以，

解得或，都在内，

故存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形为假命题.

对③，的周长为，

又因为，，

所以，

即的周长为，

又因为，当且仅当时取等号，

所以，

即的周长为.

当且仅当时，的周长最大.

故③为真命题.

故答案为：①③

【点睛】

关键点点睛：本题主要考查椭圆的定义，解决本题①的关键为分类讨论，，和，以及，②的关键为代入椭圆的对称性，③的关键为椭圆的定义，属于中档题.

14．【答案】

【解析】分析：先分析出，得到，消去b，整理出a．c的齐次式，求出离心率的范围.

详解：由落在椭圆上，则.

又得：

∴

由得：，即，解得：

又，∴

故答案为：

【点睛】

求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a．b．c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率．

15．【答案】

【解析】分析：由等比中项的概念求出，结合求得，从而可得椭圆方程．

详解：由题意，，所以，，

所以椭圆方程为．

故答案为：．