数学选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程精练

这是一份数学选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程精练，共17页。试卷主要包含了已知圆过椭圆，如图，椭圆等内容，欢迎下载使用。
【特供】2.5.1 椭圆的标准方程-1优选练习一．填空题1．已知椭圆的左右两个焦点分别为，，是椭圆上一点，且，则的面积为______.2．已知点分别为椭圆的左，右焦点，点为的左顶点，上的点到点的最小距离为.过原点的直线交于，两点，直线交于点，且，则椭圆的标准方程为___________.3．已知，，为坐标原点，动点满足，其中，且，则动点的轨迹方程是___________.4．已知圆过椭圆：的焦点与短轴端点，则椭圆的标准方程为______.5．如图，椭圆：=1(a>b>0)的离心率为e，F是的右焦点，点P是上第一象限内任意一点且，．，若λ>e，则离心率e的取值范围是__________．6．设以原点为圆心的圆与轴交两点，如果以为焦点的椭圆与圆总有公共点，那么椭圆的离心率取值范围是__________.7．已知椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短半轴为半径的圆与线段相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率___________8．已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于________．9．若实数x，y满足方程，则的取值范围为___________．10．在梯形中，，，，椭圆以，为焦点且过，两点，则该椭圆的离心率为______.11．已知点，椭圆的右焦点为，若线段的中点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为______．12．若实数，满足方程，则的取值范围为________．13．通过研究发现：点光源P斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点(如图所示)，如图是底面边长为2？高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源P位于的中点处时，则在平面上的投影形成的椭圆的离心率是___________.14．“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕？着陆？巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3400公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为___________.(精确到0. 1)15．已知椭圆：的左．右焦点分别为，，若椭圆上存在点使三角形的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是______．
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：先设，，根据椭圆定义，得，再由余弦定理，根据题意，求出，进而可得出结果.详解：设，，根据椭圆定义可得，由椭圆可得，其焦距为，又，所以，即所以的面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查椭圆的简单应用，以及解三角形的问题，熟记椭圆的定义与标准方程，余弦定理与三角形面积公式即可，属于常考题型.2．【答案】【解析】分析：根据题意作出示意图，根据均为中点可知为的中位线，由此可根据得到的一个关系式，再根据椭圆上的点到的最小距离得到的另一个关系式，由此求解出的值，则椭圆方程可求.详解：如图，连接，，因为为的中点，所以是的中位线，所以，所以，即，所以，又上的点到点的最小距离为，则，解得，，所以.故椭圆的标准方程为，故答案为：.【点睛】结论点睛：椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值：（1）最大值：，此时为长轴的端点且与在坐标原点两侧；（2）最小值：，此时为长轴的端点且与在坐标原点同侧.(可利用点到点的距离公式结合椭圆方程进行证明)3．【答案】【解析】分析：设动点，根据向量间的关系得到，，代入化简可得动点的轨迹方程．详解：解：设动点，，则点满足，其中．，，，，，，，，，，即．故答案为：．【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，考查两个向量坐标形式的运算，训练了利用代入法求曲线的方程，建立动点，与．的关系是解题的关键．4．【答案】【解析】分析：由题意求得，再由，即可求得椭圆的标准方程，得到答案．详解：由题意，圆过椭圆：的焦点与短轴端点，可得，所以，所以椭圆的标准方程为.故答案为：．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的标准方程，以及是解答的关键，着重考查了计算能力．5．【答案】【解析】分析：由已知得，设直线的斜率为，则联立直线与椭圆的方程求得点P，Q的坐标，根据向量垂直的关系建立关于不等式，可求得离心率的范围．详解：因为点是上第一象限内任意一点，故为锐角且，所以，设直线的斜率为，则由可得，故，所以，因为，故，所以，解得，因为对任意的恒成立，故，整理得到对任意的恒成立，故，即，即．故答案为：．【点睛】方法点睛：(1)求椭圆的离心率时，将提供的椭圆的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意椭圆定的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．6．【答案】【解析】分析：求得椭圆上任意一点到圆心的距离，可得，从而得解.详解：设椭圆上任意一点为，则，则点到圆心的距离为：，由，得根据题意可得，所以，解得.故答案为：.7．【答案】【解析】分析：由中位线定理以及勾股定理求出，，再结合椭圆的定义以及离心率公式得出答案.详解：设切点为，右焦点为由题意可知，则因为分别是的中点，所以由椭圆的定义可知，即两边平方得即故答案为：.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由椭圆的定义得出，进而得出离心率.8．【答案】【解析】分析：由题意，利用直角三角形的边角关系可得，再利用椭圆的定义及离心率的计算公式即可得出．详解：设直线的倾斜角为，则，．在直角三角形中，令，则由椭圆定义得椭圆的离心率．故答案为：．【点睛】熟练掌握直角三角形的边角关系．椭圆的定义．离心率的计算公式是解题的关键，属于基础题．9．【答案】【解析】分析：由题可知，可表示为椭圆上的点到点，上焦点的距离之和，设其椭圆的下焦点为，再由椭圆定义转化为求解的范围.详解：可表示为椭圆上的点到点，上焦点的距离之和，即，设其椭圆的下焦点为，又由椭圆定义得，所以，又，所以，故.故答案为：【点睛】关键点睛：本题解决的关键是能够将求解转化为椭圆上的点到点，上焦点的距离之和的问题.10．【答案】【解析】分析：设椭圆，，利用相似比可得，根据，，利用两点之间的距离公式化简可得，再根据，在椭圆上，代入坐标，列出方程组，化简可得，将上述两式联立，化简可得，解方程，即可求出结果.详解：设椭圆，如图所示：设，则椭圆的离心率为；因为，，则；又，所以，即，整理可得①；由椭圆的定义可知，，即，整理可得 ②；②-①可得：③;又，在椭圆上；所以 ，化简整理可得，④；将④代入③可得，，两边同时除以，可得，解得（负值舍去）.故答案为：.【点睛】本题主要考查了椭圆离心率的求法，考查了学生的运算能力，属于中档题.11．【答案】4【解析】分析：由线段的中点恰好在椭圆上，则为右顶点，由中点坐标公式即可得解.详解：由线段的中点恰好在椭圆上，即为右顶点，可得，解得，所以椭圆的长轴长为4.故答案为：.12．【答案】【解析】分析：由已知条件得出点P在以为焦点，以为长轴长的椭圆上，再由两点的距离公式得出表示点到点的距离之和，再根据椭圆的定义将问题转化为求的范围，根据两点的距离公式可求得范围．详解：设点，则由椭圆的定义得点P在以为焦点，以为长轴长的椭圆上，所在椭圆的方程为：，而表示点到点的距离之和，即，由椭圆的定义得，所以，所以，而，又，所以，所以的取值范围为，故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查根式的最值和范围求解问题，解决的关键在于利用椭圆的定义得出动点的轨迹，将问题转化为求两线段的距离之差的范围．13．【答案】【解析】分析：作出光源投影后的图形，在三角形中分别解得椭圆参数a，c，从而求得离心率.详解：从P作于M点，在平面内作球的切线，交平面于N点，则在平面内形成的图形如图所示：底面边长为2？高为3的正四棱柱，实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，则，，故，，则，根据题目条件知，是椭圆焦点，MN是长轴，即，，则，离心率故答案为：14．【答案】0.6.【解析】分析：根据题中的信息列出关于的方程，然后解方程并求离心率即可.详解：设椭圆的方程为()，由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，最大值为，根据题意可得近火点满足，，解得，，所以椭圆的离心率为，故答案为：0.6.15．【答案】【解析】分析：设则，可得，再结合即可求得范围.详解：设，，，则，若存在点使三角形的面积为，则，可得，因为，所以，即，可得，整理可得：，所以，解得：，所以，所以椭圆的离心率的取值范围是：，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是，设利用焦点三角形的面积公式表示出.