人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程课时训练

【基础】2.5.1 椭圆的标准方程优选练习

一．填空题

1．若椭圆：（）与椭圆：（）的焦距相等，给出如下四个结论：

①和一定有交点；

②若，则；

③若，则；

④设与在第一象限内相交于点，若，则．

其中，所有正确结论的序号是______．

2．椭圆的短轴长为___________.

3．已知，是椭圆的焦点，若椭圆C上存在点P，使，则椭圆C的离心率的取值范围是_______．

4．直线（为参数），点在椭圆上运动，则椭圆上点到直线的最大距离为______.

5．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于两点，若，，则椭圆的离心率为__________．

6．已知椭圆的左焦点为，，点满足，则直线的斜率取值范围是_______.

7．已知一动圆C内切于圆，且过定点，则动圆圆心C的轨迹方程是_____________.

8．椭圆的左．右焦点分别为，，直线经过交椭圆于，两点，则的周长为__________.

9．已知椭圆的左．右焦点分别是，，是上的点.若，则的值为______.

10．直线与椭圆有公共点，则的取值范围是_______．

11．如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当时，该椭圆的离心率为____________.

12．已知椭圆内一点，过点的两条直线分别与椭圆交于和两点，且满足（其中），若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为__________.

13．已知椭圆的中心在原点．对称轴为两坐标轴,且一个焦点为,离心率为,则该椭圆的方程是________.

14．已知椭圆右顶点为，上顶点为，该椭圆上一点与的连线的斜率，中点为，记的斜率为，且满足.若．分别是轴．轴负半轴上的动点，且四边形的面积为2，则三角形面积的最大值是______.

15．关于的实系数一元二次方程的两个虚根为．，若．在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】②④

【解析】通过时的图像可知和没有交点，根据两椭圆相同，结合，得到，根据分析法得到所需条件与矛盾，根据椭圆对称性，结合得到两椭圆之间离心率的关系，从而得到.

详解：对于结论①，当时，椭圆的图像完全在椭圆的内部，

此时和没有交点，所以①错误；

对于结论②，因为两椭圆的焦距相等，即相等，可得，

因为，所以得到

由可得，

所以得到，

所以得到，所以②正确；

对于结论③，由可得，

即，即，

从而得到，与条件中的矛盾，

所以③错误；

对于结论④，因为两椭圆的相同，若两椭圆的离心率相同，

则根据对称性可知，两椭圆在第一象限的交点，其横纵坐标应相等，

而此时与在第一象限内相交于点，，

则椭圆更接近圆，或椭圆更扁，即，

所以，得到，

所以④正确.

故答案为：②④.

【点睛】

本题考查焦距相等的椭圆间的关系，椭圆的几何性质，根据椭圆的形状判断离心率的大小，考查了化归与转化的思想，属于中档题.

2．【答案】

【解析】分析：根据椭圆方程确定焦点位置求解.

详解：因为，

所以椭圆的焦点在y轴上，

所以，

则椭圆的短轴长为.

故答案为：

3．【答案】

【解析】分析：设，由数量积的坐标表示得出，再由点P在椭圆上得出，联立两个方程得出，再由化简得出，结合离心率的公式即可求解.

详解：设，则①

将代入①式解得

又，即

.

故答案为：

4．【答案】

【解析】将直线的参数方程改为直线的一般方程，设椭圆上点坐标，利用点到直线的距离公式进行计算可得最大值.

详解：由得，得，设，则点到的距离，其中.即椭圆上点到直线的最大距离为.

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆的参数方程的应用，考查点到直线距离公式的应用，考查正弦函数的性质，属于基础题.

5．【答案】

【解析】分析：根据的周长为并结合题意可知，然后根据，进行计算可得结果.

详解：如图

由的周长为，，

所以

又

所以

则

则化简可得

所以，故

又，所以

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆离心率，重在对问题的分析，抓住细节，同时考查计算能力，属中档题.

6．【答案】

【解析】分析：根据，可得点坐标，计算直线的斜率，然后根据，化简，根据函数单调性可得结果.

详解：设，由，则

所以，则，又

则直线的斜率

由，所以

令，，则

又令，，

所以可知在单调递增

所以，则

所以直线的斜率取值范围是

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆与导数的结合，本题难点在于表示直线的斜率，考查分析能力以及计算能力，属中档题.

7．【答案】

【解析】分析：依据题意列出式子，结合椭圆的定义可知结果.

详解：圆的圆心，

由题可知：，所以可知圆心C的轨迹为焦点在轴上的椭圆

设椭圆方程为

所以，则，所以

所以椭圆方程为：

故答案为：

8．【答案】20

【解析】根据椭圆的定义可知，，求椭圆的周长.

详解：由椭圆的焦点在轴上，，，

∴，，

∴的周长为.

故答案为：20

【点睛】

本题考查椭圆的定义，重点考查定义的应用，属于基础题型.

9．【答案】

【解析】分析：根据椭圆的定义写出与，然后代入求解，即可求出.

详解：由题意可知，，由椭圆的定义知，，则，所以.

故答案为：.

10．【答案】

【解析】将直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，方程有两个解，，解不等式，即可求解。

详解：联立整理得.

因为直线与椭圆有公共点，所以，

解得或.

故答案为:.

【点睛】

本题考查直线与椭圆的位置关系，转化为方程解的个数，属于基础题.

11．【答案】

【解析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为的直角三角形，由此可求得椭圆离心率.

详解：设圆柱形杯子的底面半径为，画示意图如图所示：

则是椭圆的长半轴长，是椭圆的短半轴长，则，

又，则.

 故答案为：

【点睛】

本题考查了圆柱的截面为椭圆的问题，根据椭圆的性质求出椭圆的离心率，考查了学生的分析能力，空间想象能力，属于中档题.

12．【答案】

【解析】分析：设，

由共线向量的坐标运算，得，由点差法结合直线的斜率得出，两者比较可得的等式，从而求得离心率．

详解：设，

∵，∴，

则，∴，同理，

∴，∴，

∵在椭圆上，∴，，

相减可得，即，

则①，同理可得②，

①+②得，

又，

∴，∴，．

故答案为：．

【点睛】

本题考查求椭圆的离心率，向量的坐标运算，设出四点坐标，由点差法利用斜率得出四点的坐标间的关系，由向量的坐标运算得出四点的坐标间的关系，两者比较后得的等量关系，从而求得离心率．本题旨在考查学生运算求解能力，属于中档题．

13．【答案】.

【解析】因为椭圆的一个一个焦点为,可得,根据离心率为,可得,即可求得答案.

详解：椭圆的一个一个焦点为

可得

设椭圆方程为:

,可得

根据

椭圆方程为:

故答案为:.

【点睛】

本题主要考查了求椭圆方程,解题关键是掌握椭圆方程的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

14．【答案】

【解析】分析：解：先得到，再求出，，接着建立方程，并得到不等式，最后求三角形面积的最大值即可.

详解：解：设，，中点，

则有，，

两式相减得，即，

则，

由为椭圆右顶点，所以，

又，，得到，.

设，，，，则由四边形的面积为2，又为上顶点，

则，即，

由基本不等式得，解不等式得，

所以三角形的面积，

当且仅当，即，时取等号.

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆的面积问题．椭圆中的定值问题．基本不等式求最值问题，是偏难题.

15．【答案】

【解析】分析：由题意两个虚数根，是共轭复数，可得椭圆的短轴长：，焦距为，然后求出长轴长．

详解：因为为实数，，，为虚数，

所以，即，

解得．

由，为共轭复数，知，关于轴对称，

所以椭圆短轴在轴上，又由椭圆经过原点，

可知原点为椭圆短轴的一端点，

根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，

可得椭圆的短轴长，

焦距，

长轴长，

故答案为：．