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    人教B版高中数学选择性必修第一册2-7-2抛物线的几何性质优选作业含答案

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    人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质练习

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    这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质练习,共15页。试卷主要包含了若,则的最小值是_______,已知抛物线等内容,欢迎下载使用。
    【精挑】2.7.2 抛物线的几何性质优选练习一.填空题1.,则的最小值是_______.2.已知为抛物线的焦点,上一点,到原点的距离,若,则_________.3.已知抛物线的焦点为,准线为,过点且斜率为的直线交抛物线于点在第一象限),,垂足为,直线轴于点,则_____________.4.已知抛物线的准线方程为,焦点为,准线与轴的交点为为抛物线上一点,且满足,则______.5.抛物线上一点到焦点的距离为,则点的纵坐标为______________.6.已知抛物线的焦点为F,其准线与双曲线相交于A,B两点.若为直角三角形,则抛物线的准线方程为________.7.已知倾斜角为的直线过曲线的焦点,且与相交于不同的两点在第一象限),则_____.8.抛物线的焦点为,点为抛物线上一点,且不在直线上,则周长的最小值为____.9.已知点为抛物线上的点,且点P到抛物线C焦点的距离为3,则___________.10.中国古代桥梁的建筑艺术,有不少是世界桥梁史上的创举,充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱桥,当水面离拱顶2m时,水面宽8m.若水面下降1m,则水面宽度为______.11.抛物线的焦准距是______.12.已知抛物线,圆心在上的圆过原点且与抛物线的准线相切,若该圆截直线所得弦长为,则的方程为___________.13.抛物线的焦点为F,准线L与x轴交于点M,若N为L上一点,当为等腰三角形,时,则_______.14.已知点是抛物线上的一个动点,则点到点的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为___________.15.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,MN与x轴相交于点R,若∠NRF=60°,则|FR|等于_____.
    参考答案与试题解析1.【答案】【解析】分析:由目标式的形式:可看作两点的距离,而可看作两点的距离,问题转化为的最小值;上的点,对于在坐标系存在使得,可联想抛物线:以为焦点,为准线的抛物线,即问题最终为求抛物线上一点到定点上的一点的距离之和最小,结合抛物线.函数图象及利用导数求最小值.详解:由,记,即原问题转化为抛物线到定点上的的距离之和最小,,当且仅当共线时等号成立.,则由于单调增,则唯一零点,即有上单调递减,在上单调递增,则,即最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查了利用几何法求代数式的最值,综合抛物线的性质.两点距离公式.数形结合.导数研究函数最值的应用,属于难题.2.【答案】或3【解析】分析:由已知得,即,再由抛物线的定义,得,可求得答案.详解:因为上一点,所以,即由抛物线的定义,得,整理得,故或3.故答案为:或3.【点睛】本题考查抛物线的定义和几何性质,属于基础题.3.【答案】【解析】分析:由抛物线定义知,再由题意可得为等边三角形,的中点,可得为三角形的中位线,可得的中点,为等边角形的高,由中,可得的值,进而求出的值.详解:如图所示设准线与轴交于.易知,由抛物线定义知.由题意为等边三角形,.的中位线,就是该等边的高,.故答案为:.【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系,属于中档题.4.【答案】【解析】分析:由求出,可得抛物线方程为,利用抛物线的定义可求出,再利用余弦定理可得答案.详解:由题可知:抛物线,准线方程,有∴抛物线方程为:准线,交于点,由抛物线的定义得:,则,在三角形中,由余弦定理可得解得故答案为:【点睛】与焦点.准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关,解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化:(1)将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离;(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,使问题得到解决.5.【答案】2【解析】分析:求出抛物线的标准方程以及抛物线的准线,根据抛物线的定义可得点到准线的距离为,从而求解.详解:抛物线方程改写为根据抛物线的定义,知点到准线的距离也为所以的纵坐标为.故答案为:26.【答案】【解析】分析:先求出准线方程为,代入双曲线方程可得A,B的坐标,再由为直角三角形,设中点为,则,即,进而求解.详解:由题可知准线方程为,因为与双曲线相交于A,B,,,因为为直角三角形,由双曲线的对称性可得,中点为,则,即,解得,即,所以准线方程为,故答案为:【点睛】本题考查抛物线的几何性质,考查双曲线的方程的应用,考查运算能力.7.【答案】【解析】分析:求出点坐标,过垂直轴于点垂直准线于点,为准线与轴的交点,由结合直线倾斜角是60°可得出的方程,从而求得.详解:由曲线得,垂直轴于点垂直准线于点,为准线与轴的交点,则,所以故答案为:【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题,考查求抛物线上的点到焦点的距离,解题关键利用抛物线的定义建立焦半径的关系式.8.【答案】【解析】分析:求△MAF周长最小值,即求|MA|+|MF|的最小值.设点M在准线上的射影为D,根据抛物线定义知|MF|=|MD|,转为求|MA|+|MD|的最小值,当D.M.A三点共线时|MA|+|MD|最小,即可得到答案.详解:求△MAF周长的最小值,即求|MA|+|MF|的最小值,设点M在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义,可知|MF|=|MD|因此,|MA|+|MF|的最小值,即|MA|+|MD|的最小值根据平面几何知识,可得当D,M,A三点共线时|MA|+|MD|最小,因此最小值为xA﹣(﹣1)=2+1=3,∵|AF|=∴△MAF周长的最小值为3+故答案为3+ 【点睛】本题考查抛物线的定义.标准方程,以及简单性质的应用,判断当D,M,A三点共线时|MA|+|MD|最小,是解题的关键.9.【答案】【解析】分析:根据抛物线的焦半径公式求解,再由于点在抛物线上,点的坐标满足抛物线的方程,得到.详解:设抛物线的焦点为,则根据抛物线的焦半径公式可知:所以,代入抛物线方程得到:.故答案为:.【点睛】本题主要考查抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离,从而得到焦半径公式,平时做题时也要特别注意定义的应用.10.【答案】【解析】分析:以拱桥顶点为原点,建立直角坐标系,设抛物线方程根据题意可得答案.详解:由题意,以拱桥顶点为原点,建立直角坐标系,设抛物线方程由题意知,抛物线经过点和点,代入抛物线方程解得,所以抛物线方程,水面下降1米,即,解得所以此时水面宽度.故答案为:.11.【答案】【解析】分析:抛物线化为标准方程,即可求得抛物线焦点到准线的距离.详解:解:抛物线化为标准方程为...抛物线的焦准距是.故答案为:.【点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质,解题关键是理解焦准距的含义,属于基础题.12.【答案】【解析】分析:由题,得圆心坐标,所以P到的距离,又由,列出方程解得p,即可得到本题答案.详解:如图,设圆心为,因为所以,且则P到的距离又由,得所以抛物线的标准方程为.故答案为:【点睛】本题主要考查抛物线与圆的综合问题,考查学生分析问题和解决问题的能力,以及运算求解能力.13.【答案】2【解析】分析:根据抛物线的方程求出焦点F的坐标和准线L的方程及的坐标,根据N为L上一点且为等腰三角形得到为等腰直角三角形,根据勾股定理求出的长度即为的值.详解:解:根据抛物线方程得到焦点,准线L的方程为,所以,则 ,又因为为等腰三角形,N为L上一点得到为等腰直角三角形,,又斜边 ,根据勾股定理求出,.故答案为: 2【点睛】本题要求学生掌握抛物线的简单性质,灵活运用勾股定理解直角三角形.是一道基础题.14.【答案】【解析】分析:设点在抛物线的准线的投影为点,抛物线的焦点为,根据抛物线的定义可得,再根据三角形的性质:即可求解.详解:设点在抛物线的准线的投影为点,抛物线的焦点为,则.依抛物线的定义,知点到该抛物线的准线的距离为则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和.故答案为:.15.【答案】2【解析】分析:由题意知:.由∠NRF=60°,可得为等边三角形,MF⊥PQ,可得F为HR的中点,即求.详解:不妨设点P在第一象限,如图所示,连接MF,QF.∵抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点.∵M,N分别为PQ,PF的中点,∵PQ垂直l于点Q,∴PQ//OR,,∠NRF=60°,为等边三角形,∴MF⊥PQ,易知四边形和四边形都是平行四边形,∴F为HR的中点,故答案为:2.【点睛】本题主要考查抛物线的定义,属于基础题. 

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