人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程课时练习

【精选】2.5.1 椭圆的标准方程-2课堂练习

一．填空题

1．已知椭圆短轴上的两个四等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆离心率为___________.

2．已知点F1，F2是椭圆的左．右焦点，|F1F2|＝4，点Q(2,)在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则的最大值为________．

3．已知椭圆经过函数图象的对称中心，若椭圆C的离心率，则C的长轴长的取值范围是_____________.

4．曲线的焦点坐标为__________．

5．已知椭圆.四点，，，恰有三点在椭圆C上，则椭圆C的方程为___________________.

6．已知椭圆上点，P为椭圆上异于A点的任一点.若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”.若椭圆是“圆椭圆”，则a的取值范围是______.

7．已知椭圆过点其长轴长的取值范围是[4，6]，则该椭圆离心率的取值范围是____.

8．如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_________.

9．已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，则动圆圆心的轨迹方程为______________.

10．椭圆的右焦点为，直线与x轴的交点为A，在椭圆E上存在点P满足线段的垂直平分线过点F，则椭圆E离心率的取值范围是______.

11．设是椭圆的长轴，点在椭圆上，且，若，则椭圆的焦距为________．

12．点为椭圆的右焦点，在椭圆上运动，点，则周长的最大值为_________

13．设，是椭圆C：的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则的面积为__________________

14．方程表示焦点在轴上的椭圆，的取值范围为______．

15．如图，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线与交于，且，则椭圆的离心率为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：利用正方形的对角线相等列出方程，由的关系化简可得椭圆的离心率．

详解：由正方形的对角线相等可得：，即

解得

故答案为：

2．【答案】

【解析】分析：由焦距以及Q在椭圆上可求椭圆方程，得到F1坐标，令P(x,y)结合向量数量积的坐标表示有，即可求的最大值.

详解：由题意得：c＝2，，解得a2＝8，b2＝4，

∴椭圆的方程为，即有F1(－2,0)，

设P(x,y)，可得：x2＝8－2y2，

则，当且仅当时， 的最大值为．

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：根据焦距．椭圆上的点确定椭圆方程，进而得到左焦点F1坐标，利用向量数量积的坐标表示可得关于P点纵坐标的函数，即可求其最大值.

3．【答案】

【解析】分析：用分离常数法求得函数的对称中心，代入椭圆方程得的关系，变形后得，然后由的范围得出的范围．

详解：因为可化为，所以曲线的对称中心为，把代入方程，得，整理得.因为，所以，从而.

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题考查求椭圆长轴长的范围．解题关键是建立长半轴长与离心率的关系式，求出函数对称中心代入椭圆方程，利用进行转化是是解题的基本方法．

4．【答案】

【解析】分析：求出，进而得出焦点坐标.

详解：，且焦点在轴上，则焦点坐标为

故答案为：

5．【答案】

【解析】分析：根据椭圆的对称性可知点，，在椭圆上，代入椭圆的方程，解方程组即可求解.

详解：由椭圆的几何性质可得：点，，在椭圆上，

代入椭圆的方程可得解得：，

所以椭圆的方程为：，

故答案为：.

6．【答案】

【解析】分析：首先表示，，根据条件，列式求参数的取值范围.

详解：设点，

，，

，，且在处函数取得最大值，

，得，得，

综上可知：

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题考查二次函数求最值，根据最值点求参数的取值范围，本题的关键是化简，并理解二次函数的性质，转化为定义域与对称轴的关系.

7．【答案】

【解析】分析：将点代入可得，由，结合的取值范围即可求解.

详解：由题意可得，

所以，

所以，

又，且，

所以，即，

该椭圆离心率的取值范围是.

故答案为：

8．【答案】

【解析】分析：由椭圆焦点在x轴上知，即可求实数a的取值范围.

详解：由题意知：，整理得，

∴，

故答案为：.

9．【答案】

【解析】分析：由圆的标准方程知圆心为，半径为8，根据动圆内切于定圆且过定点，即有，，知轨迹为椭圆，写出轨迹方程即可.

详解：由圆方程知：圆的圆心为，半径为8，

∵圆过定点且内切于圆，若设圆的圆心为，

∴由题意知：，而，故可知在以为焦点的椭圆上，

∴，即圆心的轨迹方程：.

故答案为：.

【点睛】

关键点睛：根据动圆过定点且与另一圆内切，即两圆圆心的距离加上动圆到定点的距离为定值，又两圆心距离为定值，即可知动圆圆心轨迹.

10．【答案】

【解析】分析：由已知得，再结合的最大值和最小值得出关于的不等式，从而求得的范围．

详解：由中垂线的性质可得：，又有，于是

，，，又，

解得：．

故答案为：．

11．【答案】

【解析】分析：设椭圆的标准方程为，由已知条件推导出，点的坐标为，由此能求出，从而能求出椭圆的焦距．

详解：解：如图，设椭圆的标准方程为，

由题意知，，．

，，可设，，

，

，，

，解得，

点的坐标为，

点在椭圆上，，

，

，，

椭圆的焦距为．

故答案为：．

12．【答案】

【解析】分析：根据椭圆定义可知，可确定的最大值为，由此可求得所求周长的最大值.

详解：由椭圆方程知：，，，则右焦点，左焦点，

由椭圆定义知：，，

当三点共线，如下图所示时，取得最大值，

，

，

即周长的最大值为.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题考查椭圆上的动点到焦点和椭圆内定点之间距离之和的最值的求解问题，解题关键是能够利用椭圆定义将问题转化为椭圆上的点到椭圆内定点距离与到另一焦点距离之差的最值的求解问题，从而由三点共线确定最值.

13．【答案】3

【解析】分析：根据条件先求出点纵坐标的值，由可得答案.

详解：由题意，，

设P，由点P在C上，则 （1）

由，则   （2）

两式联立可得，解得，即

所以

故答案为：3

14．【答案】

【解析】分析：将椭圆方程化为标准方程，根据椭圆的焦点位置可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

详解：由于方程表示焦点在轴上的椭圆，则，

将椭圆方程化为标准方程得，

由已知条件可得，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

15．【答案】

【解析】分析：分别设出点的坐标为．．．，利用斜率公式表示出直线．的斜率，利用斜率乘积等于，结合即可求解.

详解：设左顶点为，左焦点为，上顶点为，下顶点为，

可得直线的斜率为，

直线的斜率，

因为，直线与交于，所以，

所以，即，因为，

所以，

所以，

解得：或（舍）

所以椭圆的离心率为.

故答案为：

【点睛】

方法点睛：求椭圆离心率的方法：

（1）直接利用公式；

（2）利用变形公式；

（3）根据条件列出关于 的齐次式，两边同时除以 ，化为关于离心率的方程即可求解.