数学选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质达标测试

【精挑】2.6.2 双曲线的几何性质课堂练习

一．填空题

1．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左．右顶点分别为，，点在圆：上运动，直线与的右支交于.记直线，，的斜率分别为，，，则的取值范围是______.

2．已知为双曲线的左．右顶点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是________.

3．已知双曲线(m∈R， m≠0)的离心率为2，则m的值为_________

4．设，分别是双曲线的左？右焦点，若双曲线右支上存在一点，使，为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为__________.

5．焦点的坐标为，渐近线方程为的双曲线的标准方程为________.

6．双曲线上一点到点的距离为7，则点到点的距离为______.

7．双曲线的渐近线方程为__________.

8．已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的标准方程为________．

9．若双曲线的一个焦点为，且渐近线方程为，则该双曲线的方程是_____.

10．双曲线的焦距是__________．

11．设椭圆与双曲线有公共焦点，过它们的右焦点作轴的垂线与曲线，在第一象限分别交于点，，若（为坐标原点），则与的离心率之比为________.

12．已知双曲线的一个顶点是，则m的值是_______________．

13．双曲线的一条渐近线方程为，则离心率等于_____.

14．与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线标准方程为__________.

15．已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则实数的值为_____.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：设，根据双曲线的方程，得到，，求出，再设的方程为，根据直线与圆有交点，得出圆心到直线的距离小于等于半径，列出不等式求解，即可得出结果.

详解：设，因为直线与的右支交于，所以，即，

又双曲线：的左．右顶点分别为，，

因此，

又点在圆：上运动，

所以直线与圆：有交点，

所以圆心到直线的距离小于等于半径，

又，所以直线的方程为，即，

所以圆心到直线的距离为，即，

解得，

因此.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查由直线与圆位置关系求参数，考查双曲线的简单性质，属于常考题型.

2．【答案】

【解析】分析：由题意结合双曲线的性质可设过点与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为，联立方程可得，再由，可得到，由即可得到答案.

详解：双曲线的渐近线方程为，

不妨设过点与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为，

联立，解得交点，

点在以线段为直径的圆外，，即有，

，即，.

双曲线离心率的取值范围是．

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题的关键是求出关于的不等式.本题中先求出点的坐标，利用点在以线段为直径的圆外，推出，进而得到关于的不等式.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.

3．【答案】27

【解析】分析：根据双曲线标准方程知，，结合离心率为2及常数关系即可求m的值

详解：根据双曲线标准方程，知：，

∵双曲线的离心率为2

∴，而

∴

故答案为：27

【点睛】

本题考查了双曲线，利用双曲线的离心率．标准方程中常数的等量关系求参数值

4．【答案】

【解析】分析：取的中点，由，可得，由是的中位线，得到，由双曲线的定义求出和的值，进而在中，由勾股定理可得结论.

详解：解：取的中点，则

∵，

∴，

∴，

∵是的中位线，

∴，.

由双曲线的定义得，

∵，

∴，.

中，由勾股定理得，

∴，

∴.

故答案为：.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断是直角三角形，是解题的关键.

5．【答案】

【解析】分析：由已知设双曲线方程为，即，从而可得，进而求出的值可得双曲线的标准方程

详解：解：由题意设双曲线方程为，即，

则，

因为焦点的坐标为，所以，解得，

所以双曲线的标准方程为，

故答案为：

6．【答案】13

【解析】分析：求出双曲线的，运用双曲线的定义可得，解方程即可得到所求值

详解：解：双曲线的，由题意得，

由双曲线的定义可得，即，

解得或,又,所以

故答案为：13

【点睛】

此题考查双曲线的定义的应用，属于基础题

7．【答案】

【解析】分析：直接将方程变形，即可得答案；

详解：，

故答案为：.

8．【答案】

【解析】分析：先根据椭圆的焦点得到双曲线的焦点坐标，再根据离心率得到的大小，最后可求从而得到双曲线的方程

详解：由椭圆方程，故焦点为(4,0),(？4,0)

设双曲线的半焦距为，则，因双曲线的离心率为2，则

故，所以，

所以双曲线的标准方程为：

故答案为：

【点睛】

本题考查双曲线的基本量的计算，属于基础题.

9．【答案】

【解析】分析：根据题意可得，，结合，求出即可.

详解：因为双曲线的渐近线方程为，且一个焦点为，

所以可设双曲线方程为，

因为，所以，

又因为，解得，

所以双曲线方程为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了双曲线的简单几何性质，熟记渐近线的求法，属于基础题.

10．【答案】10

【解析】分析：根据双曲线的标准方程求解即可.

详解：解：根据双曲线的标准方程得，

所以，即，

所以双曲线的焦距为.

故答案为：

【点睛】

本题考查由双曲线的标准方程求焦距，是基础题.

11．【答案】

【解析】分析：设右焦点为，可得得，，，根据面积比可得，根据离心率公式可得解.

详解：设右焦点为，根据椭圆和双曲线方程可得得，，，

若，则，即，即，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了椭圆和双曲线的离心率公式，属于基础题.

12．代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，将代入已知曲线求解.

13．【答案】

【解析】分析：根据双曲线方程得渐近线方程，再根据条件得＝2，最后得离心率.

详解：双曲线的渐近线方程为：，

所以，＝2，

离心率为：．

故答案为：

【点睛】

本题考查双曲线渐近线方程以及离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．【答案】

【解析】分析：设双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为，，把点代入，求出得解．

详解：设双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为

把点代入，得：

∴所求双曲线方程为．

故答案为:

【点睛】

本题考查双曲线方程的求法，考查双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

15．【答案】

【解析】分析：计算焦点为，渐近线方程为，利用点到直线的距离公式得到答案.

详解：抛物线的焦点为，

双曲线的一条渐近线为，即，

故，即.

故答案为：.