高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质巩固练习

【基础】2.6.2 双曲线的几何性质课堂练习

一．填空题

1．双曲线的左．右焦点为，，以为圆心，为半径作圆，过作直线与圆切于点M.若M在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为____________.

2．已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于，两点，且，则该双曲线的离心率为_______．

3．已知是双曲线的左．右焦点，关于双曲线的一条渐近线的对称点为，且点在抛物线上，则双曲线的离心率为______.

4．已知动圆Q与圆外切，与圆内切，则动圆圆心Q的轨迹方程为__________．

5．已知，分别是双曲线的左．右焦点，设点是该双曲线与以为直径的圆在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为_________.

6．已知过焦点的直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，与轴交于点，若是坐标原点，，，则的离心率是_______.

7．已知双曲线C：的左．右焦点分别为，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，则C的离心率是__________

8．已知双曲线：的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是__________.

9．已知双曲线的一个焦点，其中一条渐近线为，过作交于，则到原点距离是______．

10．命题若是双曲线上一点，则到此双曲线的两焦点距离差的绝对值为2；则命题是_________命题．（填“真”或“假”）

11．已知双曲线的左．右焦点分别为．，点在双曲线上，若，且的面积为，则双曲线的渐近线方程为________.

12．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线的渐近线上存在一点，使得，，，顺次连接构成平行四边形，则双曲线的离心率______.

13．已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为______．

14．双曲线的其中一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为_______

15．设点，分别为双曲线C：（，）的左．右焦点，过点作直线l与双曲线C的左．右支分别交于A，B两点，若且，则双曲线C的离心率为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】2

【解析】分析：根据为半径作圆，得到，从而，不妨设M在第一象限则，然后根据点M在渐近线上求解.

详解：因为，，

所以，

不妨设M在第一象限，则，

因为点M在渐近线上，

所以，

所以.

故答案为：2

【点睛】

本题主要考查双曲线的几何性质，属于中档题.

2．【答案】

【解析】分析：由题意得，，，，，解方程即可求解.

详解：由题意得，，，

由题得，

∴，

整理得，即，

∴，，即．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了双曲线离心率的求法，考查了直线与双曲线的简单几何性质，属于中档题.

3．【答案】

【解析】分析：先写出双曲线的渐近线方程，根据双曲线的对称性，不妨令点为关于直线的对称点，设，求出，代入，化简整理，即可得出结果.

详解：因为双曲线的渐近线方程为：，

根据双曲线的对称性，不妨令点为关于直线的对称点，

设，因为，

所以，解得，

即，

又点在抛物线上，

所以，即，即，

整理得：，所以，

解得，因双曲线的离心率，所以，

因此.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.

4．【答案】

【解析】分析：根据题意和双曲线的定义，得到动圆圆心Q的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，求得的值，即可求得轨迹方程.

详解：设动圆Q的半径为，

因为动圆Q与圆外切，与圆内切，

可得，所以，

由双曲线的定义，可得动圆圆心Q的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，

其中，解得，

又由，

所以动圆圆心Q的轨迹方程为.

故答案为：.

【点睛】

求曲线的轨迹方程的常用方法：

5．【答案】

【解析】分析：根据双曲线的定义可得，再根据，得到，从而求出，，从而由勾股定理得关于．的等式，求得离心率；

详解：解：根据双曲线定义：，因为圆是以为直径，所以是直角三角形，又知，易得，∴，，在中，由勾股定理得，解得.

故答案为：

【点睛】

本题考查了双曲线的定义，双曲线的几何性质，离心率的求法，属于中档题．

6．【答案】4

【解析】分析：设直线，联立方程组，分别求得，由，得到，再由，得到，进而结合离心率的定义，即可求解.

详解：如图所示，设双曲线的渐近线方程为，直线，其中，

联立方程组，解得，即，

同理可得，

因为，可得，整理得，

又因为，可得，整理得，

即，即，所以双曲线的离心率为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．

7．【答案】

【解析】分析：画出图象，根据等比例缩放不改变形状原则，不妨设，根据双曲线的定义表示其余有关线段，然后在和中，利用勾股定理建立方程（组），求得的值，进而得到离心率.

详解：解：如图所示，不妨设则,,,

在中由勾股定理得,解得,

在中，,,,

,，

,

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据双曲线方程，定义和几何性质求离心率问题，关键是双曲线的定义的运用和勾股定理的使用，其中根据等比例原则设是简化运算的重要技巧.

8．【答案】

【解析】分析：根据题意，确定直线与渐近线的关系，得到，再计算离心率范围得到答案.

详解：记过点的直线为，

因为过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，

则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于的倾斜角，

已知的倾斜角是，从而，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了双曲线的离心率范围，意在考查学生的计算能力，属于基础题.

9．【答案】

【解析】分析：利用双曲线的方程及焦点坐标得出，则可写出渐近线的方程，然后根据题目条件利用几何法解出.点到原点的距离.

详解：

由题意得：，解得，

设渐近线，则，所以,

又因为，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查双曲线的标准方程及渐近线的应用，较简单.解答时，注意数形结合，利用几何法求解.

10．【答案】假

【解析】分析：利用双曲线的定义即可得命题是真命题,所以命题是假命题.

详解：由得，根据双曲线的定义可得

到此双曲线的两焦点距离差的绝对值为，

所以命题是真命题，

因为命题与命题真假性相反，

所以命题是假命题.

故答案为：假

【点睛】

本题主要考查判断命题的真假性，涉及双曲线的定义，属于基础题.

11．【答案】

【解析】分析：不妨设点在双曲线右支上，先求出，设，得，即得双曲线的渐近线方程.

详解：不妨设点在双曲线右支上，

依题意，，

故，

因为，则，

设，所以.

所以，

所以，

所以

则，

故双曲线的渐近线方程为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12．【答案】2

【解析】分析：根据，，，顺次连接构成平行四边形，求得点与点的中点，从而求得点的坐标，代入双曲线方程求解.

详解：由题知点与点的中点也是点与点的中点，

所以点的坐标为，

又点在渐近线上，

所以，

∴，

∴.

故答案为：2

【点睛】

本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

13．【答案】

【解析】分析：计算抛物线的准线，焦点坐标和双曲线的渐近线方程，得到，由化简得到，即可得到离心率.

详解：抛物线，即，故其准线的方程为，，

双曲线的渐近线方程为，

则有，，，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的运算求解能力..

14．【答案】

【解析】分析：由双曲线的渐近线方程可得，再由焦点到渐近线的距离为可得，即可得答案；

详解：由题意得：，

双曲线的方程为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查双曲线的渐近线方程和焦点到渐近线的距离为，考查运算求解能力，属于基础题.

15．【答案】.

【解析】分析：利用已知条件，结合直角三角形以及双曲线的定义，通过余弦定理，转化求解可得，再由双曲线的离心率公式即可得解.

详解：因为，所以设，，

因为，所以，

由双曲线的定义可得，解得，，

在中，，

设，

在中，由余弦定理可得

，

所以，所以，

所以离心率.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了余弦定理及双曲线性质的应用，考查了双曲线离心率的求解及运算求解能力，属于中档题.