高中人教B版 (2019)1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系课时作业

【优选】1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-1同步练习

一．填空题

1．在正三棱柱中，M为的重心，若，则_________.

2．给出以下结论：

①空间任意两个共起点的向量是共面的；

②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；

③空间向量的加法满足结合律：；

④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.

请将正确的说法题号填在横线上：__________.

3．在正方体中，给出以下向量表达式：

①；        ②；

③；        ④.

其中能够化简为向量的是______________（填序号）.

4．在空间直角坐标系O-xyz中，给出以下结论：

①点关于z轴的对称点的坐标是；

②点关于平面对称的点的坐标是；

③若，，则

其中所有正确结论的序号是________.

5．如图，已知在大小为60°的二面角中，于点于点，且，则_________.

6．已知向量，，，若，则______.

7．若，是两个不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则________.

8．空间向量，，若，则___________．

9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:①()2=3;②·()=0;③的夹角为60°;④正方体的体积为||.其中正确命题的序号是_____.

10．已知平面的一个法向量，，，且，则直线与平面所成的角为______．

11．若空间向量，，共面，则______.

12．已知A（1，－2，11）．B（4，2，3）．C（x，y，15）三点共线，则xy=___________.

13．已知点是点在平面上的射影，则等于_____．

14．点是棱长为的正四面体表面上的动点，是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是_______________.

15．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，到的距离都等于2.给出以下结论：

①；

②；

③

④；

⑤.

其中正确结论的序号是____________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据空间向量的线性运算法则计算．

详解：如图，连接并延长，交于点D，

∵在正三棱柱中，M为的重心，，

∴

.

故答案为：．

【点睛】

本题考查空间向量基本定理，可选任意不共面的三个向量为基底，其他任意向量都可用基底表示．考查了向量的线性运算法则．

2．【答案】①③④

【解析】根据起点和终点点共面，可知①正确；由相等向量定义可知②错误；根据向量加法运算律和线性运算法则可知③④正确.

详解：①中，两个向量共起点，与两向量终点共有个点，则点共面，可知两向量共面，①正确；

②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误；

③中，空间向量加法满足结合律，③正确；

④中，由向量加法的三角形法则可知④正确.

故答案为：①③④

【点睛】

本题考查向量部分相关命题的判定，涉及到相等向量的概念．向量加法的运算律和三角形法则的运用等知识，属于基础题.

3．【答案】①②

【解析】根据空间向量的加法．减法运算的几何意义，即可得答案；

详解：①中，；

②中，；

③中，；

④中，.

故答案为：①②.

【点睛】

本题考查空间向量的加法．减法运算的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.

4．【答案】①③

【解析】分析：根据空间直角坐标系中的对称性和空间向量的夹角公式对三个选项判断即可得解.

详解：点关于z轴的对称点的坐标为，故①正确；

点关于yOz平面对称的点的坐标是，故②错误；

若，，

则，则，故③正确.

故答案为：①③.

5．【答案】

【解析】由向量线性运算加法的运算性质，结合二面角表示得，同时平方结合向量的数量积即可求解

详解：，二面角的大小为60°，，

，

，

，

，.

故答案为：

【点睛】

本题考查由向量的运算性质求解二面角中具体线段长度问题，属于中档题

6．【答案】

【解析】分析：利用空间向量垂直的坐标表示即可求解.

详解：，，且，

则，解得.

故答案为：

【点睛】

本题考查了空间向量垂直的坐标表示，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

7．【答案】-8

【解析】计算得到，根据共线得到，代入计算得到答案.

详解：，，则；

A，B，D三点共线，故，即解得

故答案为：

【点睛】

本题考查了根据向量共线计算参数，意在考查学生的计算能力.

8．【答案】2.

【解析】直接利用向量垂直公式计算得到答案.

【详解】

由得，即，解得

故答案为：

【点睛】

本题考查了根据向量垂直求参数，属于简单题.

9．【答案】①②

【解析】由向量的运算法则以及垂直向量其数量积为0，可得①正确。由向量线性运算以及空间中与垂直可知②正确。易得三角形为等边三角形。又，故夹角为与的补角为120°，故③错误。||=||故④错误

【详解】

()2=222=3故①正确

·()=·0,故②正确。

因为//，均为面对角线，所以三角形为等边三角形，而的夹角为与的补角。所以的夹角为120°，故③错误。

正方体的体积为||||||，而||=||故④错误

【点睛】

本题主要考察空间向量的线性运算。在求向量夹角时，注意判断向量的方向。

10．【答案】

【解析】设直线与平面所成的角为， 由，利用空间向量的数量积即可求解.

详解：解：设直线与平面所成的角为，

则，

∴直线与平面所成的角为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了空间向量法求线面角，熟记公式是解题的关键，属于基础题.

11．【答案】3.

【解析】分析：空间向量，，共面，可得：存在实数，使得，利用向量的线性运算与向量相等即可得出.

详解：解：空间向量，，共面，

存在实数，使得，

，解得.

故答案为：3.

12．【答案】2.

【解析】由三点共线得向量与共线，即，，，解得，，∴．

考点：空间三点共线．

13．【答案】

【解析】求出点的坐标，然后利用两点间的距离公式可计算出的值.

【详解】

点在平面上的射影点的坐标为，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查空间中两点间距离的计算，同时也考查了射影点坐标的计算，考查运算求解能力，属于基础题.

14．【答案】

【解析】分析：作出图形，计算出正四面体内切球的半径，由此可求得，由空间向量数量积的运算性质得出，进而可知当点为正四面体的顶点时，取得最大值，即可得解.

详解：如下图所示：

正四面体的棱长为，其内切球球心为点，连接并延长交底面于点，

则为正的中心，且平面，

连接并延长交于点，则为的中点，且，

，，

平面，平面，，则，

的面积为，

正四面体的体积为，

设球的半径为，则，

，，

，，

，

当点位于正四面体的顶点时，取最大值，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查空间向量数量积的最值的计算，同时也考查了正四面体内切球半径的计算，考查计算能力，属于较难题.

15．【答案】③④

【解析】根据空间向量的加减法及数量积的定义一一判断即可得解.

详解：

，①不正确；

，②不正确；

由题意可得，所以③正确；

又因为底面是边长为1的正方形，，

所以，而，于是，因此④正确，

，所以，所以⑤不正确.

故答案为：③④.

【点睛】

本题主要考查了空间向量的加减和数量积的运算，属于基础题.