人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程复习练习题

【精挑】2.5.1 椭圆的标准方程-2同步练习

一．填空题

1．已知椭圆：的两个焦点分别为，过的直线交于两点，则的周长为___________.

2．已知P是以？为焦点的椭圆上的一点，若，，则此椭圆的离心率为_____.

3．已知椭圆的方程为：，若C为椭圆上一点，，分别为椭圆的左，右焦点，并且，则____________．

4．已知F1．F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A．B两点，则 的周长为______．

5．若过椭圆上焦点的直线交椭圆于点A，B，为椭圆下焦点，则三角形的周长为___________.

6．已知方程表示椭圆，则的取值范围为______.

7．设分别是椭圆的左．右焦点，过作x轴的垂线与C交于两点，若为正三角形，则a的值为___________．

8．已知椭圆方程为的一个焦点是，那么__________.

9．已知椭圆方程表示椭圆，焦点，，椭圆上有一动点，则______．

10．椭圆的一个焦点为，则__________.

11．设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为，离心率为，则椭圆的方程为________.

12．已知是椭圆的右焦点，且过点，则椭圆的离心率为______.

13．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是___________________.

14．已知椭圆的左？右焦点分别为，是上一点，且轴，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为___________.

15．已知离心率为的椭圆过点，过点M引两条互相垂直的直线，，若P为椭圆上任意一点，记P到两直线的距离分别为，，则的最大值为__________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：由题得两式相加即得解.

详解：由题得，

由题得

所以,

所以.

所以则的周长为12.

故答案为：12

【点睛】

方法点睛：在圆锥曲线里，看到焦半径，一般要马上联想到圆锥曲线的定义解题.

2．【答案】

【解析】分析：由题意，焦点三角形为直角三角形，利用椭圆定义，，以及勾股定理可得离心率.

详解：由，得，

又，，即，

又椭圆定义得，即，

，

即，

整理得，即，

故答案为：.

【点睛】

椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理．余弦定理．|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．

3．【答案】8

【解析】分析：先算出，再根据椭圆的定义即可获解.

详解：椭圆的 ，

由椭圆的定义可得，

由可得

故答案为：8.

4．【答案】20

【解析】分析：根据椭圆的定义，直接计算结果.

详解：的周长

，

由椭圆方程可知，

所以的周长.

故答案为：20

5．【答案】16

【解析】分析：由椭圆的定义得，根据椭圆的方程可得答案.

详解：在椭圆中，

由椭圆的定义得

所以即

故答案为：16

6．【答案】

【解析】分析：根据椭圆标准方程的特征，列出不等式求解，即可得出结果.

详解：因为方程表示椭圆，所以，解得或，

即的取值范围为.

故答案为：.

7．【答案】

【解析】分析：利用已知条件求出，代入椭圆方程，结合，解方程组即可得答案．

详解：分别是椭圆的左．右焦点，

则①，

过作轴的垂线与交于，两点，

因为是等边三角形，所以

则，代入椭圆方程可得②

由①②，结合可得，

故答案为：．

8．【答案】

【解析】分析：由条件可得，则，从而得出答案.

详解：椭圆方程为化为标准形式得：

椭圆的一个焦点是，则焦点在轴上且

所以，则，解得

故答案为：

9．【答案】

【解析】分析：先由椭圆方程得到其长轴长，再由椭圆的定义，即可得出结果.

详解：因为椭圆的长轴长为，

又为椭圆上一点，与为椭圆的两焦点，

根据椭圆的定义可得.

故答案为：.

10．【答案】3

【解析】分析：由题可得，解出即可.

详解：一个焦点为，焦点在轴上，

，解得.

故答案为：3.

11．【答案】

【解析】分析：由已知可得出关于．．的方程组，解出．．的值，由此可得出椭圆的方程.

详解：由题意可得，解得，因此，该椭圆的方程为.

故答案为：.

12．【答案】

【解析】分析：由右焦点及椭圆所过点坐标列出关于的方程组，解得得离心率．

详解：由题意，解得，又，∴离心率为．

故答案为：．

13．【答案】

【解析】分析：由表示椭圆，根据椭圆的标准方程列不等式组求解即可.

详解：因为表示椭圆，则得.

故答案为：.

14．【答案】

【解析】分析：根据题意可得，过作轴，垂直为点E，设，根据三角形相似可得到点坐标，再将点坐标代入椭圆方程，结合，可得解.

详解：由轴，可知点坐标为

如图所示，过作轴，垂直为点E，设

根据题意及图可知，

，，，

又，所以点坐标为

将点代入椭圆方程，得，即

解得：，即

故答案为：

【点睛】

方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．

15．【答案】

【解析】分析：由题可求出，得出椭圆方程，设，由题可得，即可求得最值.

详解：椭圆过点，，

离心率为，结合可解得，

椭圆方程为，

设，则，

，

，

，当时，取得最大值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据椭圆的有界性求范围，解题的关键是根据题意得出.