人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程课后测评

【优选】2.7.1 抛物线的标准方程同步练习

一．填空题

1．

已知抛物线的准线为与圆相交所得弦长为，则抛物线的方程为__________．

2．

已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过点，且与交于，两点，若（是坐标原点），则______.

3．已知抛物线的焦点为F，点A（－4，0），点P是抛物线C上的动点，则的最小值为        ．

4．若点M是直线l：x﹣2y﹣2＝0上的动点，过点M作抛物线C：y＝的两条切线，切点分别为A，B（与坐标原点O不重合），当＝0时，则直线AB的方程为　　．

5．已知点是抛物线上一动点，则的最小值为__________．

6．

已知直线过抛物线的焦点，交抛物线于？两点，若，则直线的斜率为___________.

7．

已知抛物线，点在抛物线上，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点，，若直线的斜率为-1，则抛物线的方程为______.

8．

设，则的最小值为______________．

9．

抛物线()的焦点为，准线为，？是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是___________.

10．

已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是________．

11．已知平面向量，且．若对任意的，均有的最小值为，则的最小值为________．

12．已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，若，则点的横坐标为______.

13．抛物线的焦点坐标为_____________．

14．

边长为1的等边三角形AOB中，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是____________．

15．

抛物线的焦点坐标为_____________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】

抛物线y＝ax2（a＞0）的准线l：y，

圆圆心到l的距离为：

，

∴，解得：a．

∴抛物线的方程为.

故答案为：.

2．【答案】2

【解析】

由题可设，，，

由得，即.

将代入，整理得，

则，解得.

故答案为：2

3．【答案】

【解析】点A（－4，0）在抛物线C的准线x＝－4上，设点P在准线上的射影为Q，则，当直线AP与抛物线C相切时∠PAQ最小，sin∠PAQ也最小．设PA的方程为y＝k（x＋4），与联立得0.由得，当时，．

4．【答案】y＝x或y＝﹣3x+4

【解析】设M（m，），设A（x1，y1），B（x2，y2），，∴A处切线方程为，即2（y+y1）＝x1x，同理B处切线方程为：2（y+y2）＝x2x，

又因为两条切线均过M，所以，∴直线AB的方程为：2（）＝mx，即2y＝m（x﹣1）+2，联立，可得x2﹣2mx+2m﹣4＝0，

△＝4m2﹣8m+16＞0恒成立， x1+x2＝2m，x1？x2＝2m﹣4，

∵＝x1x2+y1y2＝2m﹣4+＝2m﹣4+，

解得：m＝2或﹣6，则直线AB的方程为：y＝x或y＝﹣3x+4．

5．【答案】3

【解析】分析：由题意可知表示到与点的距离之和，根据抛物线的定义即可求得结果.

详解：由抛物线，可得焦点为，准线为.

的几何意义是点到与点 的距离之和，根据抛物线的定义可知，点到的距离等于点 到的距离，所以的最小值为 .

故答案为：3

6．【答案】

【解析】

由直线过，所以，

设，，

由，可得，

直线与抛物线联立得，，

所以，可得，

所以.

故答案为：

7．【答案】

【解析】

由题意可知，过所作圆的两条切线关于直线对称.

设，，，则，

同理，，因为两条切线关于直线对称，

所以，即，得，

得，所以，

故，，代入抛物线方程，

得，所以，故抛物线方程为.

故答案为：

8．【答案】

【解析】

.

设点．，则表示再加上点的横坐标，

其中点为抛物线上的一点，该抛物线的焦点为，准线为.

作出函数与抛物线的图象如下图所示：

过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，设交轴于点，

则，

当且仅当．．三点共线时，等号成立，下面利用导数求出的最小值，

，

构造函数，其中，

，且函数单调递增，

当时，；当时，.

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

，，因此，的最小值为.

故答案为：.

9．【答案】

【解析】

过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P，

设？，如图所示，根据抛物线的定义，

可知？，

在梯形中，有，

在中，，

又∵，∴，

∴，故的最大值是.

故答案为：1.

10．【答案】－1

【解析】

由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，

所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.所以d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.

故答案为：－1.

11．【答案】6

【解析】分析：由已知垂直且模均为2，因此把它们放到平面直角坐标系中，不妨设，，设，已知向量模的最小值说明对应动点的轨迹是抛物线，所求问题转化为求抛物线上点到定点和抛物线焦点距离之和的最小值，由抛物线的性质可得．

详解：因为，且，不妨设，，设，，，

由的最小值是，即动点到轴上点的距离的最小值等于到定点的距离，所以到轴的距离等于到定点的距离，

所以点轨迹是以为焦点，轴为准线的抛物线，

，记，过作轴，垂足为，则

，易知当三点共线时，取得最小值，此时最小值为到轴距离6.

故答案为：6.

【点睛】

关键点点睛：本题考查向量语言的直观表达，借助对称性，将距离进行有效转化，从而求得最小值．解题关键是引入平面直角坐标系，把向量用坐标表示，得出动点轨迹，然后利用抛物线的性质得出最小值．

12．【答案】

【解析】分析：根据抛物线的定义，得到，即可求得的横坐标.

详解：设点，因为，

根据抛物线的定义，可得，解得，

即点的横坐标为.

故答案为：2

13．【答案】

【解析】分析：将抛物线的方程变为标准形式，由抛物线的几何性质可求得答案．

详解：将抛物线的方程整理为标准形式，得，

则该抛物线的焦点在y轴正半轴，坐标为．

故答案为：．

14．【答案】y2＝±x

【解析】

设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(不妨取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.

故答案为：y2＝±x

15．【答案】

【解析】

将抛物线的方程整理为标准形式，得，

则该抛物线的焦点在y轴正半轴，坐标为．

故答案为：．