数学选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系课后练习题

【精编】1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-1作业练习

一．填空题

1．如图，平行六面体中中，各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为，则对角线的长为______________

2．已知点，，则_____．

3．已知点是点在平面上的射影，则等于_____．

4．在空间直角坐标系中，已知 那么______.

5．已知向量,且，则_________．

6．在空间直角坐标系中，，，，，则四面体的外接球的体积为______.

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①(＋)＋1；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.其中运算的结果为的有___个.

8．已知下列命题：

①若空间向量，满足，则；

②已知是上的连续可导函数，则“是函数的一个极值点”是“”的充分不必要条件；

③在空间中，已知，，，四点共面，若，则；

④已知函数，当时，函数的图象恒在直线的下方，则的取值范围是(只填序号)

其中正确的命题是______.

9．如图，已知正方体的棱长为，为的中点，点在上，且，则的长为______．

10．若，，则与共线的单位向量是____________.

11．点是棱长为的正四面体表面上的动点，是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是_______________.

12．若空间向量，，共面，则______.

13．已知两个不同的平面，的法向量分别是和，则平面，的位置关系是________.

14．已知向量之间的夹角都是60°，且，则__________.

15．已知为坐标原点，，，，若点在直线上运动，则的最小值为__________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】利用已知条件和空间向量的数量积以及向量的模公式求解即可.

详解：在平行六面体中中，

因为各条棱长均为1，

共顶点A的三条棱两两所成的角为，

所以，

所以，

故

，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了空间向量的数量积以及向量的模公式.属于较易题.

2．【答案】

【解析】由空间中两点间的距离公式可计算出.

【详解】

由空间中两点间的距离公式可得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查空间中两点间距离的计算，熟练利用两点间的距离公式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.

3．【答案】

【解析】求出点的坐标，然后利用两点间的距离公式可计算出的值.

【详解】

点在平面上的射影点的坐标为，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查空间中两点间距离的计算，同时也考查了射影点坐标的计算，考查运算求解能力，属于基础题.

4．【答案】

【解析】利用空间向量的数量积即可求解.

【详解】

由

，

故答案为：

【点睛】

本题考查了利用空间向量的数量积求夹角，需熟记公式，属于基础题.

5．【答案】-9

【解析】分析：根据，由 ，求得即可.

详解：因为向量,且，

所以 ，

解得，

所以 .

故答案为：-9

6．【答案】；

【解析】由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点，则长方体的对角线就是四面体外接球的直径．

【详解】

取，则是长方体，其对角线长为，∴四面体外接球半径为．

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查四面体外接球体积，关键是在三个坐标平面上找三个点结合坐标原点，共八点是一个长方体的八个顶点，这样外接球直径易知．

7．【答案】4

【解析】根据向量加法的三角形法则，即可判断出答案.

详解：根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：

①(＋)＋＝＋＝；

②(＋)＋＝＋＝；

③(＋)＋＝＋＝；

④(＋)＋＝＋＝.

所以4个式子的运算结果都是.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查向量的加法运算，属于基础题.向量的加法运算：三角形法则．平行四边形法则.

8．【答案】②③④

【解析】①根据向量相等的知识进行判断；②结合极值点和充分．必要条件的知识进行判断；③根据四点共面的知识进行判断；④求得在处的切线方程，结合切线的斜率．基本不等式求得的取值范围.

详解：①不正确，方向不同，则.

②正确，由“极值点导数为，导数为零不一定是极值点”以及充分．必要条件的知识可知正确.

③正确，由四点共面结论可知.

④正确，由，由，，则在处的切线方程为，

令，则，则可化为，

当时，，递减，

当时，，

当时，，递增，当且仅当时等号成立.

所以.

所以当时满足条件.

故答案为：②③④

【点睛】

本小题主要考查空间向量．导数与极值点．导数与切线方程等知识.

9．【答案】

【解析】分析：以为原点，以所在的直线分别为轴．轴和轴，建立如图空间直角坐标系，分别求得点的坐标，结合空间中两点间的距离公式，即可求解.

详解：由题意，以为原点，以所在的直线分别为轴．轴和轴，

建立如图空间直角坐标系，如图所示，

因为正方体棱长为，所以，，，．

由于为的中点，取中点，所以，．

因为，所以为的四等分点，

从而为的中点，故，

所以．

故答案为：.

10．【答案】

【解析】分析：求出，再求出，利用单位向量的定义可得答案．

详解：，，

，

所以

根据单位向量的关系式，

可得单位向量．

故答案为：．

【点睛】

本题考查空间向量的坐标运算以及空间向量的模和单位向量，属于基础题．

11．【答案】

【解析】分析：作出图形，计算出正四面体内切球的半径，由此可求得，由空间向量数量积的运算性质得出，进而可知当点为正四面体的顶点时，取得最大值，即可得解.

详解：如下图所示：

正四面体的棱长为，其内切球球心为点，连接并延长交底面于点，

则为正的中心，且平面，

连接并延长交于点，则为的中点，且，

，，

平面，平面，，则，

的面积为，

正四面体的体积为，

设球的半径为，则，

，，

，，

，

当点位于正四面体的顶点时，取最大值，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查空间向量数量积的最值的计算，同时也考查了正四面体内切球半径的计算，考查计算能力，属于较难题.

12．【答案】3.

【解析】分析：空间向量，，共面，可得：存在实数，使得，利用向量的线性运算与向量相等即可得出.

详解：解：空间向量，，共面，

存在实数，使得，

，解得.

故答案为：3.

13．【答案】

【解析】分析：由题可得，则得，即.

详解：，，

，，

.

故答案为：.

14．【答案】

【解析】运用向量的数量积的定义，结合完全平方公式，化简整理，即可得到所求值．

详解：因为

，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查平面向量的数量积的定义和运算性质，考查完全平方公式，考查运算能力，属于基础题．

15．【答案】

【解析】先由题意，设，再由题中数据，得到，，，推出，，根据向量数量积的坐标运算，即可求出结果.

【详解】

因为点在直线上运动，可设，

因为，所以，即

又，，所以，，

因此，，

所以

，

所以当时，取最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记空间向量数量积的坐标运算公式即可，属于常考题型.