人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程课时训练

【精品】2.5.1 椭圆的标准方程练习

一．填空题

1．已知F，G为椭圆的两个焦点，过点G的直线交椭圆于A，B两点，且，则的值是________.

2．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是________.

3．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为，直线与椭圆交于，两点，且，过作交于点，点的坐标为，则椭圆的方程为_________．

4．椭圆的离心率是______．

5．已知椭圆的右焦点为F，左顶点为A，点P，Q在椭圆上，且，若，则椭圆的离心率e为________.

6．已知椭圆的左顶点为，过点作一条直线分别交椭圆于．两点，直线．的斜率记为，，则_________

7．椭圆的离心率为______.

8．如图所示椭圆中，为椭圆上一点，为其一个焦点，为直径的圆与长轴为直径的圆的位置关系为两圆______．

9．为椭圆上任意点，为圆的任意一条直径，则最大值为______．

10．已知当动点P到定点F（焦点）和到定直线的距离之比为离心率时，该直线便是椭圆的准线.过椭圆上任意一点P，做椭圆的右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得HQ=λPH(λ≥1).当点P在椭圆上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围是___.

11．椭圆的短轴长为________.

12．若椭圆的一条弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是__________.

13．焦点在轴上，离心率，且过的椭圆的标准方程为_______.

14．已知分别是椭圆的左右焦点，为上一点，的内心为点，过作平行于轴的直线分别交于点，若椭圆的离心率，则_____.

15．已知圆：和圆：，动圆M与圆外切，与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为________.

参考答案与试题解析

1．【答案】11

【解析】分析：根据椭圆的定义得，进而结合得答案.

详解：由方程得：，

故由椭圆定义得，

又，所以.

故答案为：

2．【答案】

【解析】分析：由椭圆标准方程特点可构造不等式组求得结果.

详解：由椭圆标准方程的特点知：，解得：且，

的取值范围为.

故答案为：.

3．【答案】

【解析】依题意，椭圆的焦距为，即，，即，

由点的坐标为，知直线OD的斜率，又，知直线的斜率为，即直线的方程为，即.

设联立方程得，

故，

即

，

由知，，即，

所以，又，

消去得，，解得或（舍去），

故，椭圆的方程为.

故答案为：.

4．【答案】

【解析】分析：求出．．的值，即可得出椭圆的离心率.

详解：在椭圆中，，，，

因此，椭圆的离心率是.

故答案为：.

5．【答案】

【解析】分析：根据，求得，再由，即可得解.

详解：由，可得，代入椭圆方程，可得，

由，得，又，

可得，

解得：或-1（舍）

故答案为：

6．【答案】

【解析】根据题意设，从而由两点间斜率公式即可得到关于y的式子，结合椭圆的方程代入化简即可得.

详解：设，则，

椭圆的左顶点为，则，

过点作一条直线分别交椭圆于．两点，直线．的斜率记为，，所以，

又点在椭圆上，所以，

代入上式得.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题中的定值问题，考查学生的计算能力，属于中档题.

7．【答案】

【解析】分析：根据椭圆方程，结合椭圆的性质求出，进而可求椭圆的离心率.

详解：因为椭圆方程为，

所以，

所以离心率，

故答案为：.

8．【答案】内切

【解析】分析：设．分别是椭圆的左．右焦点，依题意画出图形，设中点为，连接，根据椭圆的定义得到，即可得解；

详解：解：设椭圆的方程为，．分别是椭圆的左．右焦点，作出以线段为直径的圆和以长轴为直径的圆，如图所示．

设中点为，连接，

∴是的中位线，可得，即两圆的圆心距为根据椭圆定义，可得，

∴圆心距，

即两圆的圆心距等于它们的半径之差，

因此，以为直径的圆与以长轴为直径的圆相内切．

故答案为：内切

9．【答案】

【解析】分析：设点，则且，计算得出，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.

详解：圆的圆心为，半径长为，

设点，则且，

，，

所以，

，

所以，当时，取得最大值，即.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式．函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

10．【答案】

【解析】分析：假设点的坐标，计算已知椭圆的准线方程，可得点坐标，然后根据，可得点的轨迹方程，最后求得离心率，根据的范围可得结果.

详解：由题可知：椭圆的右准线方程为

设，所以点

由，所以

，

又，所以

所以

由，所以

则点的轨迹方程为

设点Q的轨迹的离心率

则

由，所以

所以，则，又

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查根据相关点法求点的轨迹方程以及椭圆的离心率，本题重在考查计算，属中档题.

11．【答案】

【解析】分析：将椭圆方程化为标准方程，求出的值，即可求得结果.

详解：椭圆的标准方程为，则，，

因此，椭圆的短轴长为.

故答案为：.

12．【答案】

【解析】设弦的两个端点的坐标分别为，代入椭圆的方程，两式相减求得直线的斜率，利用直线的点斜式方程，即可求解.

详解：设弦的两个端点的坐标分别为，则，

两式相减可得，

所以，

即弦所在直线的斜率为，直线方程为，

整理得，

即弦所在的直线方程是.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的几何性质，以及利用“点差法”求解过中点的直线方程，其中解答中熟记中点弦的性质，合理利用“点差法”求解直线的斜率是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

13．【答案】

【解析】设椭圆方程，利用离心率为，且经过点，建立方程，从而可求得椭圆方程.

详解：由题意，设椭圆方程为，

因椭圆离心率为，且经过点，则，，

解得，，

故椭圆的标准方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题.

14．【答案】

【解析】根据椭圆的离心率可知，根据椭圆的定义可知的周长为，设的内切圆半径为，点，利用（为周长的一半），可得，再根据，即可求出结果.

详解：设椭圆的焦距为，

由题设，所以，

由椭圆的定义可知，，，

的周长为，

设的内切圆半径为，点.

又.

设为周长的一半，则，

所以，得，

由题意可知，得.

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了直线与椭圆的位置关系和椭圆的性质，属于中档题.

15．【答案】

【解析】分析：动圆M的圆心，半径为r，由题意可得，根据椭圆的定义即可求解.

详解：设动圆M的圆心，半径为r，

由题意得，所以，

故M的轨迹是以，为焦点的椭圆，，，

所以，

所以动圆圆心M的轨迹方程为.

故答案为：