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人教B版 (2019)第二章 平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程综合训练题
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这是一份人教B版 (2019)第二章 平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程综合训练题,共16页。试卷主要包含了设椭圆的左,已知椭圆的左,如图,椭圆C,已知椭圆等内容,欢迎下载使用。
【精编】2.5.1 椭圆的标准方程-1作业练习一.填空题1.已知F1,F2是离心率为的椭圆的焦点,M是椭圆上第一象限的点,若I是的内心,G是的重心,记与的面积分别为S1,S2,则___________.2.已知为椭圆的两个焦点,若在椭圆上,且满足,则椭圆的方程为_________.3.设椭圆的左.右顶点分别为,,是椭圆上不同于,的一点,设直线,的斜率分别为,,则当取得最小值时,椭圆的离心率是______.4.在直角三角形中,,椭圆的一个焦点为C,另一个焦点在边上,并且椭圆经过点,则椭圆的长轴长等于______.5.若实数,满足方程,则的取值范围为________.6.已知椭圆的左.右焦点分别为,,M为椭圆上异于长轴端点的动点,的内心为I,则________.7.已知椭圆的方程为.如果直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰为椭圆的右焦点,则椭圆的离心率为________.8.如图,椭圆C:的左?右焦点分别为?,B为椭圆C的上顶点,若的外接圆的半径为,则椭圆C的离心率为________.9.已知椭圆的左右焦点分别为,焦距为,若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于________.10.已知椭圆:的左,右焦点分别为,,过的直线交椭圆于,两点,若,且的三边长,,成等差数列,则的离心率为__________.11.焦点在x轴上的椭圆过点,焦距为2,则椭圆的离心率为_______.12.已知椭圆的焦点为,P是椭圆上一点,且是,的等差中项,则椭圆的方程是___________.13.两个顶点的坐标分别是,,边.所在直线的斜率之积等于,则顶点的轨迹方程为_________.14.在平面直角坐标系中,,是椭圆的焦点.若椭圆上存在点,使得,则椭圆的离心率的取值范围为________.15.已知点分别为椭圆的左,右焦点,点为的左顶点,上的点到点的最小距离为.过原点的直线交于,两点,直线交于点,且,则椭圆的标准方程为___________.
参考答案与试题解析1.【答案】【解析】分析:先根据离心率确定,再根据条件用表示的面积,然后寻找及与的面积的关系即可得出结果.详解:由于椭圆的离心率为,所以,即,设的面积为S,内切圆的半径为r,则,所以,所以,因为G是的重心,所以,所以.故答案为:.【点睛】关键点睛:本题的关键是及和的面积建立联系.2.【答案】【解析】分析:由椭圆的定义和点在椭圆上,可建立方程组,解之可得椭圆的标准方程.详解:由得,解得,又在椭圆上,所以椭圆,解得,所以椭圆的方程为.故答案为:.3.【答案】【解析】分析:设出的坐标,得到(用,表示),求出,令,则,利用导数求得使取最小值的,可得,则椭圆离心率可求 .详解:解:,,设,,则,则,,,,令,则.,当时, 函数取得最小值. .,故答案为:.【点睛】关键点点睛:本题考查了椭圆的标准方程及其性质.关键利用导数研究函数的单调性极值与最值.4.【答案】【解析】分析:利用勾股定理求出,然后在焦点三角形中,利用椭圆的定义表示出和,根据列式计算长轴长.详解:解:如图,设椭圆的长轴长为,因为,则,,,则,所以.故答案为:5.【答案】【解析】分析:由已知条件得出点P在以为焦点,以为长轴长的椭圆上,再由两点的距离公式得出表示点到点的距离之和,再根据椭圆的定义将问题转化为求的范围,根据两点的距离公式可求得范围.详解:设点,则由椭圆的定义得点P在以为焦点,以为长轴长的椭圆上,所在椭圆的方程为:,而表示点到点的距离之和,即,由椭圆的定义得,所以,所以,而,又,所以,所以的取值范围为,故答案为:.【点睛】关键点点睛:本题考查根式的最值和范围求解问题,解决的关键在于利用椭圆的定义得出动点的轨迹,将问题转化为求两线段的距离之差的范围.6.【答案】【解析】分析:运用椭圆的定义和圆切线的性质,以及内心的定义,结合解直角三角形的知识,即可求得.详解:解:设的内切圆与相切于D,E,F,设,则,由椭圆的定义,可得,,即有,即有:,即,再由,故答案为:.【点睛】本题考查椭圆的方程的定义,考查切线的性质,内心的定义,属于中档题.7.【答案】【解析】分析:椭圆方程右焦点坐标,则,把点代入椭圆方程能求出,即可求出椭圆的离心率.详解:解:由椭圆方程得到右焦点的坐标为,直线与椭圆的一个交点在轴的射影恰为椭圆的右焦点得到轴,的横坐标为,代入到直线方程得到的纵坐标为,则把的坐标代入椭圆方程得:,化简得:,即解得,(舍去),,.所以椭圆方程为,所以,,则所以故答案为:.8.【答案】【解析】分析:由题意可得的外接圆的圆心在线段上,,,可得,在中,由勾股定理可得:,即,结合即可求解.详解:由题意可得:的外接圆的圆心在线段上,,设圆心为,则,在中,由勾股定理可得:,即,所以,即,所以,所以,故答案为:.【点睛】方法点睛:求椭圆离心率的方法:(1)直接利用公式;(2)利用变形公式;(3)根据条件列出关于 的齐次式,两边同时除以,化为关于离心率的方程即可求解.9.【答案】【解析】分析:由题意,利用直角三角形的边角关系可得,再利用椭圆的定义及离心率的计算公式即可得出.详解:设直线的倾斜角为,则,.在直角三角形中,令,则由椭圆定义得椭圆的离心率.故答案为:.【点睛】熟练掌握直角三角形的边角关系.椭圆的定义.离心率的计算公式是解题的关键,属于基础题.10.【答案】【解析】分析:设,,,根据勾股定理得出,而由椭圆的定义得出的周长为,有,便可求出和的关系,即可求得椭圆的离心率.详解:解:由已知,的三边长,,成等差数列,设,,,而,根据勾股定理有:,解得:,由椭圆定义知:的周长为,有,,在直角中,由勾股定理,,即:,∴离心率.故答案为:.【点睛】本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用,考查计算能力.11.【答案】【解析】分析:由条件焦点在x轴上的椭圆过点,则,又焦距为2,则,从而可得答案.详解:由条件设椭圆的标准方程为由椭圆过点,则,又焦距为2,则所以椭圆的离心率为故答案为:12.【答案】【解析】分析:由等比中项的概念求出,结合求得,从而可得椭圆方程.详解:由题意,,所以,,所以椭圆方程为.故答案为:.13.【答案】【解析】分析:设点将斜率之积用点坐标表示出来,化简即可得到顶点的轨迹方程.详解:解:设点则所以化简得.故答案为:14.【答案】【解析】分析:先分析出,得到,消去b,整理出a.c的齐次式,求出离心率的范围.详解:由落在椭圆上,则.又得:∴由得:,即,解得:又,∴故答案为:【点睛】求椭圆(双曲线)离心率的一般思路:根据题目的条件,找到a.b.c的关系,消去b,构造离心率e的方程或(不等式)即可求出离心率.15.【答案】【解析】分析:根据题意作出示意图,根据均为中点可知为的中位线,由此可根据得到的一个关系式,再根据椭圆上的点到的最小距离得到的另一个关系式,由此求解出的值,则椭圆方程可求.详解:如图,连接,,因为为的中点,所以是的中位线,所以,所以,即,所以,又上的点到点的最小距离为,则,解得,,所以.故椭圆的标准方程为,故答案为:.【点睛】结论点睛:椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值:(1)最大值:,此时为长轴的端点且与在坐标原点两侧;(2)最小值:,此时为长轴的端点且与在坐标原点同侧.(可利用点到点的距离公式结合椭圆方程进行证明)
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