高中人教B版 (2019)2.5.1 椭圆的标准方程同步达标检测题

【优质】2.5.1 椭圆的标准方程-1作业练习

一．填空题

1．已知为椭圆上一点，，为椭圆的焦点，则的周长为__________.

2．已知椭圆，F为其左焦点，过原点O的直线l交椭圆于A，B两点，点A在第二象限，且∠FAB＝∠BFO，则直线l的斜率为_____．

3．已知椭圆的左右两个焦点分别为，，是椭圆上一点，且，则的面积为______.

4．如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．

如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为__________．

5．已知点，P为椭圆上的动点，B是圆上的动点，则的最大值为___________.

6．如图，圆O与椭圆相切，已知，是椭圆的左．右焦点，点P在椭圆上，线段与圆O相切于点Q，且点Q为线段的中点，则椭圆的离心率为__________．

7．已知椭圆左．右焦点分别为．，过且倾斜角为的直线与过的直线交于点，点在椭圆上，且．则椭圆的离心率________．

8．已知椭圆：的左．右焦点分别为，，若椭圆上存在点使三角形的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是______．

9．已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且，则的面积为__________．

10．“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕？着陆？巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3400公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为___________.(精确到0. 1)

11．设以原点为圆心的圆与轴交两点，如果以为焦点的椭圆与圆总有公共点，那么椭圆的离心率取值范围是__________.

12．椭圆的左焦点为，，，分别为其三个顶点.直线与交于点，若椭圆的离心率，则___________.

13．已知是椭圆上的任意一点，若，则___________.

14．如图，椭圆：=1(a>b>0)的离心率为e，F是的右焦点，点P是上第一象限内任意一点且，．，若λ>e，则离心率e的取值范围是__________．

15．已知椭圆的左．右焦点分别为，，为第二象限内椭圆上的一点，连接交轴于点，若，，其中为坐标原点，则该椭圆的离心率为______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：根据题意求出，再利用椭圆的定义求解.

详解：由题得，

由题得的周长为.

故答案为：10

【点睛】

方法点睛：圆锥曲线的问题，看到焦半径，要联想到该曲线的定义，利用曲线的定义求解.

2．【答案】

【解析】分析：先设点A的坐标，再把需要的直线的斜率表示出，利用角相等解出点的坐标，从而求出斜率．

详解：设，则，，且，

∵F为其左焦点，

∴，，直线AB的斜率．

经分析直线AF的斜率必存在，设为，

则，

又，∴，

∴，又，，

可解得：，，

∴直线l的斜率为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了直线方程与椭圆的综合应用，考查了运算能力和转化化归思想，属于中档题.

3．【答案】

【解析】分析：先设，，根据椭圆定义，得，再由余弦定理，根据题意，求出，进而可得出结果.

详解：设，，根据椭圆定义可得，

由椭圆可得，其焦距为，

又，所以

，

即

所以的面积为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查椭圆的简单应用，以及解三角形的问题，熟记椭圆的定义与标准方程，余弦定理与三角形面积公式即可，属于常考题型.

4．【答案】

【解析】分析：利用球与圆锥相切，得出截面，在平面图形中求解，以及圆锥曲线的来源来理解切点为椭圆的一个焦点，求出，得出离心率.

详解：切于,切于E，，球半径为2，所以，

，，

中，，

，故,,

根据椭圆在圆锥中截面与二球相切的切点为椭圆的焦点知：球O与

相切的切点为椭圆的一个焦点，且，

,c=4，

椭圆的离心率为.

故答案为：

【点睛】

本题要求有一定的空间图形辨别能力，能从整体上认识图形，并且对圆锥曲线的来源有一定的认识，借助平面图形来求解.

5．【答案】2

【解析】分析：设右焦点为，则，当且仅当共线时取最大值

详解：由椭圆，可得，

设右焦点为，

因为P为椭圆上的动点，B是圆上的动点，

所以

，

，

当且仅当共线时取等号，，

故答案为：2.

6．【答案】

【解析】分析：连接，，先利用三角形中位线定理证明，，从而得焦半径，再利用椭圆的定义，得，证明，利用勾股定理得到．．间的等式，进而计算离心率即可

详解：如图：连接，，

点为线段的中点，点为线段的中点，

，，为圆的半径，

，

由椭圆定义，，

线段与圆相切于点，

，

，且，

所以，

化为，可得，

故选：B．

【点睛】

方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．

7．【答案】

【解析】分析：用表示．，利用椭圆的定义可得出关于．的关系式，由此可求得椭圆的离心率的值.

详解：如下图所示：

由已知条件可知，在中，，，，

则，

由椭圆的定义可得，即，.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得．的值，根据离心率的定义求解离心率的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于．的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

8．【答案】

【解析】分析：设则，可得，再结合

即可求得范围.

详解：设，，，

则，

若存在点使三角形的面积为，

则，可得，

因为，所以，

即，可得，

整理可得：，

所以，解得：，

所以，

所以椭圆的离心率的取值范围是：，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键点是，设利用焦点三角形的面积公式表示出.

9．【答案】

【解析】分析：由椭圆定义得，由余弦定理得，结合可得的值，从而得答案.

详解：由已知得，所以，

由椭圆定义得，

由余弦定理得，

即，

，

则的面积为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了椭圆的简单的性质，关键点是利用余弦定理和三角形的面积公式解题，考查了学生分析问题．解决问题的能力.

10．【答案】0.6.

【解析】分析：根据题中的信息列出关于的方程，然后解方程并求离心率即可.

详解：设椭圆的方程为()，

由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，最大值为，

根据题意可得近火点满足，，

解得，，

所以椭圆的离心率为，

故答案为：0.6.

11．【答案】

【解析】分析：求得椭圆上任意一点到圆心的距离，可得，从而得解.

详解：设椭圆上任意一点为，则，

则点到圆心的距离为：

，

由，得

根据题意可得，所以，解得.

故答案为：.

12．【答案】

【解析】分析：做出图像可知：，利用两角和的正切表示，有，根据离心率可求出，，代入正切公式即可求出结果.

详解：由图像可知：所以

因为离心率，可设，，那么，极有，，代入上式得．

故答案为：

【点睛】

本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化，考查了两角和的正切公式的应用，属于中档题型，

思路点睛：（1）根据平面几何将所求角进行转化，；

（2）结合两角和的正切公式，直角三角形内求角的正切，将问题转化为的比值问题．

（3）根据离心率求出的比值，代入可求.

13．【答案】4

【解析】分析：由题知，再根据椭圆的定义即可得答案.

详解：解：由椭圆的方程知：，

由椭圆的定义知：，

所以

故答案为：

14．【答案】

【解析】分析：由已知得，设直线的斜率为，则联立直线与椭圆的方程求得点P，Q的坐标，根据向量垂直的关系建立关于不等式，可求得离心率的范围．

详解：因为点是上第一象限内任意一点，故为锐角且，所以，

设直线的斜率为，则

由可得，故，

所以，

因为，故，所以，

解得，因为对任意的恒成立，

故，整理得到对任意的恒成立，

故，即，即．

故答案为：．

【点睛】

方法点睛：(1)求椭圆的离心率时，将提供的椭圆的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．

（2）对于焦点三角形，要注意椭圆定的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．

15．【答案】

【解析】分析：由题意可得，则，因为，，化简即可得出离心率．

详解：因为，所以，

由题意可得，则，

因为，所以，所以.

因为，所以，，

所以，可得，解得．

故答案为：