高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质当堂达标检测题

【名师】2.5.2 椭圆的几何性质-2作业练习

一．填空题

1．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆C于A，B两点，若，且的三边长．．成等差数列，则C的离心率为___________．

2．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为_______.

3．已知椭圆的右焦点为，存在经过点的一条直线交椭圆于两点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是________．

4．椭圆的焦距是______.

5．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，，并且该椭圆上一点到点，的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为________.

6．已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点，使得，若点，分别是圆D：和椭圆C上的动点，则当椭圆的离心率取得最小值时，的最大值是___________．

7．已知椭圆，左焦点，右顶点，上顶点，满足，则椭圆的离心率为____________.

8．若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为，最大值为，则该椭圆的短轴长为________．

9．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是___________.

10．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交此椭圆于，两点．若，则____________；

11．在在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M．N是椭圆上的两个动点，动点P满足，直线与直线斜率之积为-2，已知平面内存在两定点．，使得为定值，则该定值为_______________.

12．曲线（为参数）上的点到其焦点的距离的最小值为_________．

13．椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为______．

14．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点离心率为则椭圆C的方程为____.

15．已知椭圆的方程为，，分别是椭圆的左．右焦点，点的坐标为，为椭圆上一点，则的最大值是___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：由已知，设，，，据勾股定理有；由椭圆定义知的周长为4a，由勾股定理，，可得选项.

详解：由已知，设，，，所以根据勾股定理有，解得；

由椭圆定义知，所以的周长为4a，所以有，；

在直角中，由勾股定理，，∴离心率．

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆离心率，椭圆的定义，重在对问题的分析，抓住细节，同时考查计算能力，属于中档题.

2．【答案】

【解析】分析：根据题意，方程表示椭圆，列出不等式组，解可得答案．

详解：解：方程表示椭圆，即方程表示椭圆，则，解得且，即．

故答案为：．

3．【答案】

【解析】分析：先由题意，得到不是水平直线，设直线的方程为，点，的坐标分别为，，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及向量数量积的坐标表示，得到，再由，得出，由此列出不等式，即可求出结果.

详解：因为存在经过点的一条直线交椭圆于两点，使得，显然不是水平直线，设直线的方程为，点，的坐标分别为，．

由消去，整理得，

由韦达定理，

，

因为，所以，即，

所以，而，则，

即，整理得，

所以，即，

解得，即，

即，所以

又椭圆的离心率满足，所以.

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：

求解椭圆离心率问题的关键在于求出之间关系，本题中利用向量数量积的坐标表示，通过联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，得出，即可求解.

4．【答案】

【解析】分析：根据椭圆中，，的数量关系求解．

详解：解：椭圆的焦距是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了椭圆中，，的数量关系，属于基础题．

5．【答案】

【解析】分析：由，可求出，由焦点坐标可得到的值，进而结合，可求出，即可得到椭圆的方程.

详解：设椭圆的方程为，

因为，所以，即，

又，所以，

所以椭圆方程为.

故答案为：.

6．【答案】

【解析】分析：根据题中条件，得到的最大值不小于即可，由余弦定理，结合基本不等式，得到点为短轴的顶点时，最大；不妨设点为短轴的上顶点，记，得出离心率的最小值，连接，得到，根据椭圆的定义，结合三角形的性质，求出的最大值，即可得出结果.

详解：若想满足椭圆上存在一点，使得，只需的最大值不小于即可，

由余弦定理，可得

，当且仅当 ，

即点为短轴的顶点时，的余弦值最小，即最大；

如图，不妨设点为短轴的上顶点，记，则 ，

于是离心率，

因此当椭圆的离心率取得最小值时，，则椭圆 ；

连接，根据圆的性质可得:，

所以只需研究的最大值即可；

连接，，，

当且仅当，，三点共线（点在线段的延长线上）时，不等式取得等号，

所以的最大值为 ，

因此的最大值是.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：

求解本题的关键在于根据题中条件，得到椭圆离心率，求出椭圆方程，再由椭圆的定义，以及圆的性质，将动点到两点距离的最值问题，转化为椭圆上一动点到焦点，以及到定点的距离的最值问题，即可求解.

7．【答案】

【解析】分析：利用数量积的坐标公式计算可得答案．

详解：由可得，，即，

则，解得或（舍）

故答案为：

8．【答案】

【解析】分析：由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆的短轴长度.

详解：不妨设椭圆方程为：，由题意可得，

解得，则椭圆的短轴长度为：.

故答案为：8

【点睛】

本题主要考查椭圆的几何性质，方程的数学思想，椭圆短轴的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

9．【答案】

【解析】分析：根据焦点在轴上的椭圆的方程的特征列出不等关系，求解不等关系可得结果.

详解：由题意得，解可得或；

解可得或；

综上可得的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

方程表示椭圆则有：；方程表示双曲线则有：.

10．【答案】4

【解析】分析：根据椭圆的标准方程，求出的值，由的周长是，由此求出．

详解：因为，

所以.

故答案为：4

【点睛】

本题考查椭圆的定义．标准方程，以及简单性质的应用，利用椭圆的定义是解题的关键．

11．【答案】

【解析】分析：先设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），利用坐标表示求动点P轨迹方程，最后根据椭圆定义求结果.

详解：设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），

则由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），

即x=2x1-x2，y=2y1-y2，

∵点M，N在椭圆上，所以，，

故2x2+y2=（8x12+2x22-8x1x2）+（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2+y1y2），

设k0M，kON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0MkON=-2，

∴y1y2+2 x1x2=0，

∴2x2+y2=20，

所以P在椭圆2x2+y2=20上；

设该椭圆的左，右焦点为F1，F2，

由椭圆的定义可推断出为定值，该定值为

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了椭圆定义及简单的几何性质．充分考查了用代数的方法来处理平面几何问题的手段．

12．【答案】

【解析】分析：由题可知曲线表示的是椭圆，然后利用椭圆的性质可得答案

详解：解：曲线（为参数），化为普通方程为，

所以，

所以曲线上的点到其焦点的距离的最小值为，

故答案为：

13．【答案】

【解析】分析：设左焦点为，根据椭圆的定义有，，且O是直角三角形斜边的中点，所以，离心率，由角的范围可求得离心率的最大值.

详解：因为关于原点对称，所以B也在椭圆上，设左焦点为，根据椭圆的定义：，

又因为，所以，O是直角三角形斜边的中点，所以，

所以，所以，

由于，所以当时，离心率的最大值为：,

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：求椭圆的离心率关键在于由椭圆的定义，善于利用平面几何中的边．角关系建立关于的等式或不等式.

14．【答案】

【解析】分析：由离心率可得，将点代入方程即可求出，即求出椭圆方程.

详解：，，则，

将点代入方程得，解得，则，

故椭圆C的方程为.

故答案为：.

15．【答案】

【解析】分析：本题先根据已知求出．，再求．，最后转化即可解题.

详解：解：∵椭圆的方程为，∴，，则，，

∵，，∴，

∵，

∴

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆上点到焦点与定点距离的和的最值．椭圆的标准方程求，，，是中档题.