高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质课后复习题

【优编】2.5.2 椭圆的几何性质-1练习

一．填空题

1．已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.

2．已知椭圆的右焦点为，直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为_______.

3．如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率__________．

4．设为椭圆的左焦点，为上第一象限的一点.若，，则椭圆的离心率为___________

5．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______.

6．设分别为椭圆的左．右焦点，点在椭圆上，且不是椭圆的顶点．若，且，则实数的值为_____．

7．已知椭圆的左．右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则的标准方程为____________.

8．椭圆C的左焦点为（-6，0），且经过点P（5，2），则椭圆C的标准方程为_______

9．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为________.

10．椭圆的焦点坐标是______.

11．已知椭圆内有一点，F是椭圆的右焦点，M是椭圆上一点，则的最小值为______.

12．已知椭圆的右焦点为，过原点的直线交椭圆于．两点，，，，则椭圆的离心率为______．

13．已知椭圆的左焦点是点，过原点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率是________．

14．写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆标准方程为______．

15．已知椭圆的离心率，则的值等于______．

参考答案与试题解析

1．【答案】     

【解析】分析：不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率．

详解：

如图所示：不妨假设，设切点为，

，

所以, 由，所以，，

于是，即，所以．

故答案为：；．

2．【答案】

【解析】分析：先不妨设的坐标，再求出到直线的距离为，利用等腰三角形的性质，列出，解出即可.

详解：根据题意，把代入中，得，不妨设，且，

则到直线的距离为，由，得，

则，平方计算得.

故答案为：.

【点睛】

思路点睛：

3．【答案】

【解析】分析：根据平行投影计算出椭圆C的短半轴长b，再求出光线与水平面所成锐角的正弦，进而求得椭圆C的长轴长2a而得解.

详解：连接，则，因为，如图：

所以，所以

在照射过程中，椭圆的短半轴长b是球的半径R，即，

过球心与椭圆长轴所在直线确定的平面截球面所得大圆及对应光线，如图：

椭圆的长轴长是，过A向做垂线，垂足是B，则，

由题意得：，又，

则，，即，

所以椭圆的离心率为.

故答案为：

4．【答案】

【解析】分析：连接，由余弦定理结合平面几何的知识得，再由椭圆的定义及离心率公式即可得解.

详解：设，椭圆的右焦点，连接，如图，

因为，，

所以，

所以，所以，，

所以为等边三角形，，

所以，

所以离心率.

故答案为：.

【点睛】

解决本题的关键是利用余弦定理及平面几何的知识转化条件为，再由椭圆的定义．离心率公式即可得解.

5．【答案】

【解析】分析：由方程表示椭圆，得到不等式组，即可求解，得到答案．

详解：由题意，方程表示椭圆，

则满足，解得且，

即实数的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了椭圆的标准方程及其应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于较易题．

6．【答案】1

【解析】分析：由已知向量条件结合椭圆的对称性推出四边形一定为平行四边形，可得，即.

详解：因为，所以，所以，

又，且不是椭圆的顶点．

根据椭圆的对称性可知，四边形一定为平行四边形，

如图：

所以，

所以，即，

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：根据椭圆的对称性求解是解题关键.

7．【答案】

【解析】分析：连接，根据，，得到四边形是矩形，设，由求解.

详解：如图所示：

连接，

因为，

所以四边形是平行四边形，

所以，

又因为，

所以平行四边形是矩形，

设，

由题意得，

解得，

则，

故答案为：.

8．【答案】

【解析】分析：根据题意可得椭圆的焦点在轴上且焦点为，由椭圆的定义为，从而可得答案.

详解：椭圆C的左焦点为，则椭圆的焦点在轴上且右焦点为

由椭圆的定义可得

所以，则

所以椭圆C的标准方程为：

故答案为：

9．【答案】

【解析】分析：变换得到，根据题意得到，解得答案.

详解：，即，，故，，

方程表示焦点在轴上的椭圆，故，

即，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了根据椭圆方程求参数范围，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题目.

10．【答案】

【解析】分析：由椭圆的方程得出，然后即可得到答案.

详解：由得，

且焦点在轴上，所以焦点坐标为．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查椭圆的焦点坐标，考查考生对基础知识的掌握情况，属于基础题目.

11．【答案】4.

【解析】分析：过点作垂直直线，垂足为，由椭圆的性质可得（椭圆的第二定义），数形结合即可得解.

详解：由题意，椭圆的右焦点，

设点，则，

则，

过点作垂直直线，垂足为，如图，

则，

所以当三点共线（在线段上）时，

.

故答案为：4.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是利用椭圆的第二定义转化，运算即可得解.

12．【答案】

【解析】分析：先记椭圆的左焦点为，根据题中条件，由对称性，得到，，结合椭圆定义，得到，利用余弦定理，在三角形，列出等式求出；在三角形中，利用余弦定理，求出，进而可求出离心率.

详解：

记椭圆的左焦点为，

因为过原点的直线交椭圆于．两点，，，

根据对称性，可得，，

由椭圆定义可得，

在三角形中，，

所以由余弦定理可得：，

故，

解得，

在三角形中，，，

由余弦定理可得

所以，

因此．

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：

求解本题的关键在于利用椭圆的定义，结合对称性，得到，再利用余弦定理，分别求出椭圆的长半轴和半焦距，即可求解离心率.

13．【答案】

【解析】分析：设右焦点为，设直线的方程为：，设，，利用几何性质可得，结合焦点三角形的性质和余弦定理可得，求出的坐标后代入椭圆方程可求离心率.

详解：

解：设右焦点为，由题意可得直线的方程为：，设，，

连接，，因为，

所以四边形为平行四边形，则，

所以，

整理得到即，

故，

所以可得，代入直线的方程可得，

将的坐标代入椭圆的方程可得：，

整理可得：，即，

解得：，由椭圆的离心率，

所以，

故答案为：．

【点睛】

方法点睛：椭圆离心率的计算问题，关键在于构建基本量的方程，可利用点在曲线上来构建，注意焦点三角形的性质在计算过程中的应用.

14．【答案】（答案不唯一）

【解析】分析：不妨设椭圆的焦点在轴上，标准方程为，进而根据题意得，再令即可得到一个满足条件的椭圆方程.

详解：不妨设椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为

因为长轴长等于离心率8倍，故，即

不妨令，则，

所以满足条件的一个椭圆方程为.

故答案为：（答案不唯一）

【点睛】

本题解题的关键在于再求解之前，需要考虑椭圆焦点所在轴，进而设出椭圆的标准方程，根据题意求解.

15．【答案】或

【解析】分析：分焦点的位置进行分类求解即可得出答案.

详解：当焦点在轴上时，，，解得，

当焦点在轴上，

解得或，

故答案为: 或.

【点睛】

本题考查根据椭圆的离心率求参数的值，注意焦点的位置的讨论,属于基础题.