数学选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程习题

【精挑】2.6.1 双曲线的标准方程作业练习

一．填空题

1．双曲线的左焦点到其渐近线的距离为__________．

2．在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为________．

3．双曲线：的渐近线方程为_______.

4．已知，，动圆与，均外切，则动圆圆心的轨迹方程为________.

5．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线分别与两条渐近线交于．两点，若，，则______.

6．已知是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，为圆上一点，则的最小值为_______________.

7．已知双曲线：的焦距为，若的渐近线上存在点，使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是________．

8．已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为___________.

9．若双曲线-y2=1(n>1)的左．右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的面积为______.

10．已知双曲线的左焦点为F，点在双曲线的右支上，，当的周长最小时，的面积为_________.

11．已知双曲线=1的左．右焦点分别为F1．F2，M是双曲线上一点，若，则三角形的面积为______.

12．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于__________.

13．双曲线与双曲线:有共同的渐近线，且过点，则双曲线的方程为___________.

14．设双曲线的两焦点为，，过双曲线上一点作两渐近线的垂线，垂足分别为，若，则双曲线的离心率为______.

15．设双曲线的焦点为．，为该双曲线上的一点，若，则_________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：求出双曲线的左焦点和渐近线方程，利用点线距公式得出答案．

详解：双曲线的左焦点为，渐近线为

则左焦点到其渐近线的距离为

故答案为：

2．【答案】

【解析】分析：根据离心率，求出，即可求出双曲线的渐近线方程.

详解：由题可得离心率，所以，即，所以，因为双曲线的焦点在轴上，所以该双曲线的渐近线方程为，即.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单性质的应用，考查学生对双曲线的理解，属于中档题.

3．【答案】

【解析】分析：根据双曲线方程，求得和焦点在x轴上求解.

详解：因为双曲线：，

所以，焦点在x轴上，

所以其渐近线方程为，

故答案为：

4．【答案】

【解析】分析：求出两个圆的圆心与半径，通过动圆与已知圆的位置关系列出方程求解即可．

详解：已知圆和圆，得圆，圆，

设动圆圆心，因为与圆和圆都相切，所以，

即，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，

其中，所以点的轨迹方程为.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：求轨迹方程的方法：定义法，直接法，相关点代入法，消参法，交轨法等.

5．【答案】1

【解析】分析：由题意画出图形，结合已知可得B（，），写出F1B的方程，与联立求得A点坐标，得到A为B．F1的中点，可得结论．

详解：如图，因为B在渐近线上，

∴设B（，）, 且，，

∵，

∴，则B（，）

∴F1B：y（x+2），

联立，解得A（，），即A为B．F1的中点

∴．

故答案为：1.

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．

6．【答案】9

【解析】分析：记双曲线的左焦点为，则，根据双曲线的定义可得，先求出，再由圆的性质，即可得出结果.

详解：记双曲线的左焦点为，则，

根据双曲线的定义可得，

则，

因此，

当，，三点共线时，取等号；

又为圆的圆心，即，且该圆的半径为，

则，即，

因为为圆上一点，

根据圆的性质可得，，

即，，，四点共线时，取得最小值.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查利用双曲线的定义域，求出线段和的最值，属于常考题型.

7．【答案】

【解析】分析：要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，必有，而焦点到双曲线渐近线的距离为，故，利用双曲线的离心率的计算公式解答．

详解：解：∵，，所以离心率，

圆是以为圆心，半径的圆，

要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，

必有，而焦点到双曲线渐近线的距离为，

所以，

即，所以，所以双曲线的离心率的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的灵活运用．

8．【答案】

【解析】双曲线的一条渐近线过点，可得双曲线的一条渐近线方程，

∴，

∴，

∴.

故答案为：.

9．【答案】1

【解析】分析：利用焦点三角形的性质结合题设条件可得，，

从而可得焦点三角形为直角三角形，进而可求其面积．

详解：设点P在双曲线的右支上，则,

解得，，

又

故， 为直角三角形．

又　∴

【点睛】

本题考查双曲线的定义，对于焦点三角形的面积．线段的长度等计算问题，注意利用其几何性质（即双曲线的定义），本题属于基础题.

10．【答案】12

【解析】分析：的周长为，其中为定值，所以即求，利用定义可得，所以周长为，作图当三点共线时周长最短，利用面积分割求得面积.

详解：如图，设双曲线C的右焦点为.由题意可得.

因为点在右支上，所以，所以，则的周长为

，

即当M在处时，的周长最小，此时直线的方程为.

联立，整理得，则，

故的面积为.

故答案为：12

【点睛】

本题考查双曲线数形结合求最值以及求三角形的面积，属于基础题.

方法点睛：（1）双曲线求最值常用定义的方法，把到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离.

（2）圆锥曲线中求三角形的面积经常采用面积分割的方法.

11．【答案】

【解析】分析：根据双曲线的定义以及余弦定理联立得到，再根据三角形面积公式计算的面积.

详解：由双曲线的对称性可知，不妨设点在双曲线的右支上，则，

且满足 ，即，又因为，两式相减可得，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，余弦定理与三角形面积公式，重点考查转化与变形，计算能力，属于中档题型.

12．【答案】或

【解析】设|F1F2|＝2c(c>0)，由已知|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，得|PF1|＝c，|PF2|＝c，且|PF1|>|PF2|，若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝4c，离心率e＝

若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a＝|PF1|－|PF2|＝c，离心率e＝ ，故曲线Γ的离心率等于或

13．【答案】

【解析】分析：利用已知条件设出双曲线方程，把代入求解即可.

详解：由双曲线与双曲线:有共同的渐近线，

可设，

又过点，

可得：，

故，

故答案为：.

14．【答案】或

【解析】分析：由双曲线方程可得渐近线方程，设，由点到直线距离公式表示出，进而可构造出关于的齐次方程，解方程可求得离心率.

详解：由双曲线方程知其渐近线方程为：，即，

设，则，

，又，

，即，

，解得：或，又，

或.

故答案为：或.

【点睛】

思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：

（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；

（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.

15．【答案】

【解析】分析：根据双曲线定义，求解.

详解：由双曲线的定义得，又，

所以，或

经检验，舍去，

所以.

故答案为：.