人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质课时练习

【优质】2.6.2 双曲线的几何性质作业练习

一．填空题

1．已知双曲线的左．右焦点分别为，，过且斜率为的直线l与双曲线的右支交于点P，与其中一条渐近线交于点M，且有，则双曲线的渐近线方程为________．

2．已知双曲线的左．右焦点分别为．，点在双曲线上，若，且的面积为，则双曲线的渐近线方程为________.

3．双曲线的焦距长为_______．

4．若双曲线上一点到，两点的距离之差的绝对值为，则双曲线的虚轴长为______.

5．双曲线的左．右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支于点，，则双曲线的离心率是________.

6．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率为_________.

7．设点，分别为双曲线C：（，）的左．右焦点，过点作直线l与双曲线C的左．右支分别交于A，B两点，若且，则双曲线C的离心率为______.

8．双曲线：的左．右焦点分别为．，过且斜率为1的直线与双曲线的左右两支分别交于点．（在右侧），若，则的离心率为______．

9．已知点为双曲线：上的动点，点，点.若，则_______

10．已知是双曲线的左．右焦点，关于双曲线的一条渐近线的对称点为，且点在抛物线上，则双曲线的离心率为______.

11．若圆与双曲线：的渐近线相切，则双曲线的离心率为_______.

12．如图，．是椭圆与双曲线的公共焦点，．分别是．在第二．四象限的公共点．若四边形为矩形，则的离心率是________．

13．已知，是双曲线C：（，）的左．右焦点，以为直径的圆与C的左支交于点A，与C的右支交于点B，，则C的离心率为______.

14．已知双曲线的一个焦点，其中一条渐近线为，过作交于，则到原点距离是______．

15．若双曲线的一条渐近线方程为，则______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：根据题意求出点M的坐标，再根据求出点P的坐标，将点P的坐标代入双曲线方程即可求出，进而求出双曲线的渐近线方程.

详解：设双曲线的左焦点为，所以直线l的方程为：，

由直线l与其中一条渐近线交于点M，且有，

可知，解方程可得，即，

过点．分别作轴垂线，垂足为．

因为，

所以，，

不妨设，则，解得，

所以，将点代入，

即，

整理可得，即，

解得，，所以双曲线的渐近线方程为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了双曲线的简单几何性质，此题要求有较高的计算能力，属于中档题.

2．【答案】

【解析】分析：不妨设点在双曲线右支上，先求出，设，得，即得双曲线的渐近线方程.

详解：不妨设点在双曲线右支上，

依题意，，

故，

因为，则，

设，所以.

所以，

所以，

所以

则，

故双曲线的渐近线方程为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．【答案】4

【解析】分析：由标准方程写出基本量即可.

详解：，，，焦距长.

故答案为: 4

【点睛】

本题考查根据双曲线标准方程求焦距，考查基本求解能力，属基础题.

4．【答案】2

【解析】分析：由得，是双曲线的焦点，由双曲线定义求出可得虚轴长

详解：由题意可知，，则，分别是双曲线的左．右焦点，则，解得，从而，虚轴长为.

故答案为：2

【点睛】

本题考查双曲线的定义与性质，考查推理论证能力与运算求解能力. 在“焦点三角形”中，定义优先考虑是破题关键．

5．【答案】

【解析】分析：先设并根据题意与双曲线的定义表示出，，，，，再在直角三角形和中利用勾股定理建立方程整理得到，最后求双曲线的离心率.

详解：解：由题意作图如下，设，因为，所以，，

由双曲线的定义可得：，，，

因为，

在直角三角形中，，整理得：，

在直角三角形中，，又因为

所以，整理得：，

所以

故答案为：.

【点睛】

本题考查双曲线的定义．求双曲线的离心率．焦点三角形的边长关系，是中档题

6．【答案】

【解析】分析：由双曲线的一条渐近线与直线平行，求得，进而求得双曲线的离心率，得到答案.

详解：由题意，双曲线的渐近线方程为，

因为双曲线的一条渐近线与直线平行，

可得，即，则.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

7．【答案】.

【解析】分析：利用已知条件，结合直角三角形以及双曲线的定义，通过余弦定理，转化求解可得，再由双曲线的离心率公式即可得解.

详解：因为，所以设，，

因为，所以，

由双曲线的定义可得，解得，，

在中，，

设，

在中，由余弦定理可得

，

所以，所以，

所以离心率.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了余弦定理及双曲线性质的应用，考查了双曲线离心率的求解及运算求解能力，属于中档题.

8．【答案】

【解析】分析：由得，进一步分析得到，，再由余弦定理得，化简即得解.

详解：由题得，

得，

由双曲线定义得，

因为，

∴．

由直线的斜率为1，得．

在△中，由余弦定理得，

解得（舍去），或．

所以的离心率为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单几何性质和定义，考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

9．【答案】27

【解析】分析：结合双曲线的定义求得.

详解：依题意可知，双曲线，

所以是双曲线的左．右焦点，

根据双曲线的定义可知，

所以或，

由于，所以，因此不符合.

所以.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查双曲线的定义，属于基础题.

10．【答案】

【解析】分析：先写出双曲线的渐近线方程，根据双曲线的对称性，不妨令点为关于直线的对称点，设，求出，代入，化简整理，即可得出结果.

详解：因为双曲线的渐近线方程为：，

根据双曲线的对称性，不妨令点为关于直线的对称点，

设，因为，

所以，解得，

即，

又点在抛物线上，

所以，即，即，

整理得：，所以，

解得，因双曲线的离心率，所以，

因此.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.

11．【答案】2

【解析】分析：双曲线的渐近线方程为，由圆心到直线的距离等于半径得出，最后根据离心率的概念得出结果.

详解：设双曲线的一条渐近线为，即

因为其与圆相切，故

整理可得，故离心率为，

故答案为：2.

12．【答案】

【解析】分析：先由椭圆方程，求出半焦距为，根据题中条件，由椭圆定义，求出，利用双曲线的定义，以及离心率计算公式，即可求出结果.

详解：由椭圆方程，可得半焦距为，

因为四边形是矩形，所以；

由在椭圆上，根据椭圆定义可得，，

则，

所以，

设双曲线的实轴长为，则，即，

所以其离心率为．

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：

求解本题的关键在于根据椭圆定义，以及题中条件，求出，根据双曲线的定义，求出其实轴长，再根据两曲线共焦点，即可求解.

13．【答案】

【解析】分析：根据题意可知，，进一步可得，然后根据双曲线的定义可得，最后根据离心率的公式可得结果.

详解：由题意知，，

所以，即，易得.

设，，，

由双曲线的定义得：，解得：，

所以，

因为，所以离心率.

故答案为：

【点睛】

本题考查双曲线离心率的计算，审清题意，细心计算，属基础题.

14．【答案】

【解析】分析：利用双曲线的方程及焦点坐标得出，则可写出渐近线的方程，然后根据题目条件利用几何法解出.点到原点的距离.

详解：

由题意得：，解得，

设渐近线，则，所以,

又因为，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查双曲线的标准方程及渐近线的应用，较简单.解答时，注意数形结合，利用几何法求解.

15．【答案】

【解析】分析：首先根据双曲线方程得到，，再根据渐近线方程即可得到答案.

详解：由题知：双曲线，，，焦点在轴，

因为一条渐近线方程为，所以，解得.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查双曲线的渐近线方程，属于简单题.