2023湖南省宁乡市高二上学期期末考试数学试题PDF版含答案

2022年下学期期末考试

高二数学参考答案

一、单选题（本大题共8小腿，共40分，在每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13.           14.             15.           16.    

四、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步）

17.（本大题满分10分）

解：(1)由已知可得，直线l的斜率k＝＝，

所以直线l的方程为x－2y＝0.                           4分

(2)因为圆C的圆心在直线l上，

所以可设圆心坐标为(2a，a)．                              5分

因为圆C与x轴相切于(2,0)点，

所以圆心在直线x＝2上，所以a＝1，                      7分

所以圆心坐标为(2,1)，半径为1，                     8分

所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.                    10分

18. （本大题满分12分）

解：（1）由题意，，    2分

得，                        4分

解得或

当或时，直线和平行.                        6分

（2）由题意，，      8分

得，                     11分

解得，

当时，直线和重合.                         12分

19. （本大题满分12分）

解：（1）依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直.

以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，

如图，建立空间直角坐标系.

则，，，.     3分

可得，.

所以，

所以                           6分

（2）由（1）得到，，

因此可得，.

设平面的一个法向量为，则由

得

令，解得.                   9分

同理，可求平面PDC的一个法向量.        10分

所以，平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足：

.

即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为.         12分

20. （本大题满分12分）

解：(1)因为，．

所以，解得．                          2分

所以．

因为为等比数列，，且

，，成等差数列．

所以．                                4分

设公比为q，则，所以，

所以，

所以，．                             6分

(2)证明：由（1）得，

所以①，    8分

②，   9分

①-②得：               10分

，

所以．                                 12分

21. （本大题满分12分）

解：(1)由题意可得F1(0，c)，

则＋＝1，解得x＝±，          2分

∴△MNF2的面积S＝××2c＝＝.①   3分

∵椭圆C的长轴长是短轴长的2倍，∴a＝2b.②    4分

又∵a2＝b2＋c2，③

联立①②③解得a＝2，b＝1，

∴椭圆C的标准方程x2＋＝1.                   6分

(2)当m＝0时，则P(0,0)，

由椭圆的对称性得＝，即＋＝0，    

∴m＝0时，存在实数λ，使得＝＋.       7分

当m≠0时，得＝＋，

∵A，B，P三点共线，∴1＋λ＝4⇒λ＝3⇒＝3.    8分

设A(x1，y1), B(x2，y2)，由

得(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0，

由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，

即k2－m2＋4>0，且x1＋x2＝，x1x2＝.

由＝3，得x1＝－3x2，

即3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，

∴＋＝0⇒m2k2＋m2－k2－4＝0,

显然m2＝1不成立，∴k2＝.

∵k2－m2＋4>0，∴－m2＋4>0，

即>0.

解得－2<m<－1或1<m<2.

综上所述，m的取值范围为(－2，－1)∪(1,2)∪{0}．      12分

22. （本大题满分12分）

(1)解：由已知得f′(1)＝，

∵f′(x)＝－m，

∴1－m＝，∴m＝1．          4分

(2)证明：g(x)＝xf(x)＝xln x－mx2－x，

∴g′(x)＝ln x－mx．

①由已知g′(x)＝ln x－mx＝0有两个正数解，

即m＝有两个正数解x1，x2．

令h(x)＝，则h′(x)＝．

由h′(x)>0得0<x<e，由h′(x)<0得x>e．

∴h(x)在(0，e)上递增，在(e，＋∞)上递减，且h(e)＝，h(1)＝0．

x→0时，h(x)→－∞，x→＋∞时，h(x)→0．

由图可知m的取值范围是0<m<．                 8分

②由①可设0<x1<e<x2，且h(x1)＝h(x2)，

构造函数φ(x)＝h(x)－h，(x>e)．

则φ′(x)＝h′(x)－h′·＝．

∴φ(x)在(e，＋∞)上为增函数．

∵x2>e，∴φ(x2)>φ(e)，即h(x2)－h>0．∴h(x1)>h

∵0<x1<e,0<<e且h(x)在(0，e)上递增，

∴x1>．∴x1x2>e2．                          12分