2023年九年级中考数学频考点突破--二次函数的最值

这是一份2023年九年级中考数学频考点突破--二次函数的最值，共20页。试卷主要包含了根据以下素材，探索完成任务等内容，欢迎下载使用。

2023年九年级中考数学频考点突破--二次函数的最值

1．如图，矩形ABCD中，AB=16cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，点P在边AB上沿AB方向以2cm/s的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以1cm/s的速度匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.

（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求△PBQ的面积的最大值.
2．已知如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，M是AC的中点，点N在AB上（不同于A、B），将△ANM绕点M逆时针旋转90°得△A1PM

（1）画出△A1PM
（2）设AN=x，四边形NMCP的面积为y，直接写出y关于x的函数关系式，并求y的最大或最小值．
3．平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是为（0,3）、（-1,0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.

（1）若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△OC′D的周长；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时；△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标.
4．求二次函数y＝x2－5x＋6与坐标轴的交点坐标及函数的最小值．
5．某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，经调查发现，每月销售数量y（件）与售出价格x（元/件）满足关系y=﹣30x+960．
（1）若某月卖出该日用品210件，求商品售出价格为每件多少元？
（2）为了获得最大的利润，商品售出价格应定为每件多少元？此时的最大利润是多少元？
6．如图， 四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）． 点M从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ．

（1）点 （填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，
说明理由．
7．已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值.小王的解答过程如下：
解：当x＝﹣1时，y＝1；
当x＝2时，则y＝4；
所以函数y的最小值为1，最大值为4
小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程.
8．某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件．
（1）若想要这种童装销售利润每天达到1200元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？
（2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？
9．如图，抛物线y=-x2+(m-1)x+m(m>1)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0,3）.

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH//x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；
（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式.

10．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽 20m ，拱顶离水面 5m ．据调查，该河段水位在此基础上再涨 1.8m 达到最高．

素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂 40cm 长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于 1m ；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 1.6m ；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．

问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
11．当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．
12．设二次函数y=−4x2−4ax−a2+2a(−12≤x≤12)有最大值-2，求实数a的值.
13．如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝ 14AB，点P在BC上运动（不与B，C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，求在点P运动的过程中，BP多长时，CQ有最大值，并求出最大值．

14．△ABC是一块腰长为20cm的等腰直角三角形白铁皮零料．请你利用三角形零料裁出一块矩形白铁皮，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．
活动一：若裁出的矩形白铁皮的面积为零料面积的 38 ，请画出符合题意的裁剪示意图（一种即可），并求出此时矩形铁皮的边长．
活动二：根据“活动一”中你选择的裁剪方法，思考并解答：
①是否能够使得裁出的矩形白铁皮的面积是零料面积的 34 ？请判断并说明理由；
②猜想裁剪出的矩形白铁皮的面积最大值．直接写出结论，不必说理．
15．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k当x=﹣1时，有最小值﹣4，且当x=0时，y=﹣3，求二次函数的解析式．
16．已知二次函数的图象经过点（0，－4），且当x=2，有最大值—2。求该二次函数的关系式：

答案解析部分
1．【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=4，
根据题意，AP=2x，BQ=x，
∴PB=16-2x，
∵S△PBQ=12PB·QB，
∴y=-x2+8x
自变量取值范围：01)，
得m=3，
则抛物线y=-x2+2x+3.
（2）解：抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=1,由点D和点C（0，3）关于抛物线的对称轴对称，所以D（2,3）.由抛物线y=-x2+2x+3，令y=0时，-x2+2x+3=0，解得x1=-1,x2=3.则A（-1,0），B（3,0），由A（-1,0），D（2,3），设直线AD为y=kx+b,代入得 −k+b=02k+b=3 ，解得 k=1,b=1 则直线AD为y=x+1,则∠DAB=45°，因为FH//x轴，所以∠FHG=∠DAB=45°，又因为FG⊥AD，所以FG=GH= 22FH .即当FH的长最长时，△FGH的周长的最大值，设F（x, -x2+2x+3）,则H（-x2+2x+2，-x2+2x+3），
则FH=-x2+2x+2-x=-x2+x+2=-（x- 12 ）2+ 94 ,
当x= 12 时，FH有最大值为 94 ，
所以△FGH的周长的最大值为2× 22 × 94 + 94 = 94 2 + 94 .
（3）（3）∵抛物线y=-x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），
∴直线AM的解析式为y=2x+2，
∵直线l垂直于直线AM，
∴设直线l的解析式为y=- 12 x+b，
∵与坐标轴交于P、Q两点，
∴直线l的解析式为y=- 12 x+b与y轴的交点P（0，b），与x轴的交点Q（2b，0），
设R（1，a），
∴PR2=（-1）2+（a-b）2，QR2=（2b-1）2+a2，PQ2=b2+（2b）2=5b2，
∵△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，
∴PR2=QR2，即（-1）2+（a-b）2=QR2=（2b-1）2+a2，
∴-2a=3b-4，①
∴PR2+QR2=PQ2，
即（-1）2+（a-b）2+（2b-1）2+a2=5b2，
∴2a2-2ab-4b+2=0，②
联立①②解得：
a=1b=23 ， a=−1b=2
∴直线l的解析式为y= −12 x+ 23 或y= −12 x+2．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）抛物线y=-x2+(m-1)x+m(m>1)中只有一个未知数m，则只需要将C（0,3）代入即可求得m；
2）求△FGH的周长的最大值，则不能用轴对称-最短路径的方法；求出A，D的坐标，及直线AD的解析式，可发现∠DAB=45°，根据平行可得∠FHG=∠DAB=45°，则FG=GH= 22FH .把求△FGH的周长的最大值，转化成求FH长的最大值，可设F（x, -x2+2x+3）,根据FH//x轴，H在直线AD上得H（-x2+2x+2，-x2+2x+3），写出FH关于x的关系式，并在x的取值范围内，即-1