初中数学人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.1 相交线5.1.2 垂线完整版作业课件ppt

5.1 相交线

第 2 课时 垂线

参考答案与试题解析

夯基训练

知识点1 垂线的概念

1.如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1＝150°，则∠3的度数为(　　)

A．30°  B．40°  C．50°  D．60°

1.解析：先根据邻补角关系求出∠2＝180°－150°＝30°，再由CO⊥DO得出∠COD＝90°，最后由互余关系求出∠3＝90°－∠2＝90°－30°＝60°.故选D.

方法总结：两条直线垂直时，其夹角为90°；由一个角是90°也能得到这个角的两条边是互相垂直的．

2.如图,CD⊥EF,垂足为O,AB是过点O的直线,∠1=50°,则∠2的度数为(　　)

A.50° B.40° C.60° D.70°

2.【答案】B　

解：因为CD⊥EF,所以∠DOF=90°,即∠1+∠DOB=90°,而∠1=50°,所以∠DOB=40°.又∠DOB与∠2是对顶角,所以∠2=∠DOB=40°,故选B.

3.如图,点O在直线AB上,且OC⊥OD,若∠COA=36°,则∠DOB的大小为(　　)

A.36° B.54° C.55° D.44°

3.【答案】B　

解：因为OC⊥OD,所以∠COD=90°,又因为∠AOC+∠COD+∠DOB=180°,所以∠DOB=180°-36°-90°=54°.故选B.

知识点2 垂线的画法

4.下列选项中,过点P画AB的垂线,三角尺放法正确的是(　　)

4.【答案】C　

5.过一条线段外一点,作这条线段的垂线,垂足在(　　)

A.这条线段上       B.这条线段的端点处

C.这条线段的延长线上 D.以上都有可能

5.【答案】D

6.(1)如图①，过点P画AB的垂线；

(2)如图②，过点P分别画OA、OB的垂线；

(3)如图③，过点A画BC的垂线．

6.解析：分别根据垂线的定义作出相应的垂线即可．

解：如图所示．

方法总结：垂线的画法需要三步完成：一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．

知识点3垂线段的性质

7.下列说法正确的是(　　)

A.垂线段就是垂直于已知直线的线段

B.垂线段就是垂直于已知直线并且与已知直线相交的线段

C.垂线段是一条竖起来的线段

D.过直线外一点向该直线作垂线,这一点到垂足之间的线段叫垂线段

7.【答案】C

8.如图,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=6 cm,BC=4 cm,则BD的长度的取值范围是(　　)

A.大于4 cm 　            B.小于6 cm

C.大于4 cm或小于 6 cm 　D.大于 4 cm且小于 6 cm

8.【答案】D　

解：根据“垂线段最短”可知BC<BD<AB,所以BD大于4 cm且小于6 cm.

9.如图，是一条河，C是河边AB外一点．现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短，并说明理由．

9.解析：根据垂线的性质可解，即过C作CE⊥AB，根据“垂线段最短”可得CE最短．

解：如图所示，沿CE铺设水管能让路线最短，因为垂线段最短．

方法总结：在利用垂线的性质解决生活中最近、最短距离的问题时，要依据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”来解决．

知识点4点到直线的距离

10.如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则点C到直线AB的距离是(　　)

A．线段CA的长  B．线段CD

C．线段AD的长  D．线段CD的长

10.解析：根据点到直线的距离的定义：直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，可得点C到直线AB的距离是线段CD的长．故选D.

方法总结：点到直线的距离是直线外一点到直线的垂线段的长度，而不是垂线段．

11.如图,其长能表示点到直线(线段)的距离的线段的条数是(　　)

A.3   B.4  C.5  D.6

11.【答案】C　

解：线段AB的长度可表示点B到AC的距离,线段CA的长度可表示点C到AB的距离,线段AD的长度可表示点A到BC的距离,线段CD的长度可表示点C到AD的距离,线段BD的长度可表示点B到AD的距离,所以共有5条.

题型总结

题型1 利用垂直的定义求角(分类讨论思想)

12.已知OA⊥OB,OC⊥OD.

(1)如图①,若∠BOC=50°,求∠AOD的度数;

(2)如图②,若∠BOC=60°,求∠AOD的度数;

(3)根据(1)(2)的结果猜想∠AOD与∠BOC有怎样的关系?并根据图①说明理由;

(4)如图②,若∠BOC∶∠AOD=7∶29,求∠BOC和∠AOD的度数. 

12.解:(1)因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°,所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-50°=40°.因为OC⊥OD,所以∠COD=90°,所以∠AOD=∠AOC+∠COD=40°+90°=130°.

(2)因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°.因为OC⊥OD,所以∠COD=90°,所以∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-90°-60°-90°=120°.

(3)∠AOD与∠BOC互补.理由如下:因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°,所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-∠BOC.因为OC⊥OD,所以∠COD=90°,所以∠AOD=∠AOC+∠COD=90°-∠BOC+90°=180°-∠BOC,所以∠AOD+∠BOC=180°,即∠AOD与∠BOC互补(4)由(3)知∠BOC+∠AOD=180°,

又因为∠BOC∶∠AOD=7∶29,

所以∠BOC=×180°=35°,

∠AOD=×180°=145°.

题型2利用点到直线的距离的定义进行识别

13.如图,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A,D,则图中能表示点到直线距离的线段共有(　　)

A.2条　　　B.3条　　　C.4条　　　D.5条

13.【答案】D

题型3利用作垂线法作图

14.如图,已知钝角三角形ABC中,∠BAC为钝角.

(1)画出点C到AB的垂线段;

(2)过点A画BC的垂线;

(3)画出点B到AC的垂线段,并量出其长度.

14.解:如图:(1)CD即为所求;(2)直线AE即为所求;(3)BF即为所求.长度略.

题型4利用垂线段的性质比较大小

15.如图,直线AB,CD相交于点O,P是CD上一点.

(1)过点P画AB的垂线段PE;

(2)过点P画CD的垂线,与AB相交于F点;

(3)说明线段PE,PO,FO三者的大小关系,其依据是什么?

15.解:(1)如图所示.　(2)如图所示.

(3)PE<PO<FO,其依据是垂线段最短.

题型5利用垂线段的性质解实际应用题

16.如图,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的村庄,设汽车行驶到点P位置时,离村庄M最近,行驶到点Q位置时,离村庄N最近,请你在AB上分别画出P,Q两点的位置.

16.解:如图所示.

拓展培优

拓展角度1利用垂直的定义和周角、对顶角与邻补角结合求角的度数

17.如图，∠1＝30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O.求∠2、∠3的度数．

17.解析：首先根据垂直的概念得到∠BOD＝90°，然后根据∠1与∠3是对顶角，∠2与∠3互为余角，从而求出角的度数．

解：由题意得∠3＝∠1＝30°(对顶角相等)．∵AB⊥CD(已知)，∴∠BOD＝90°，(垂直的定义)，∴∠3＋∠2＝90°，即30°＋∠2＝90°，∴∠2＝60°.

方法总结：解决本题的关键是根据垂直的概念，得到度数为90°的角，然后根据对顶角、邻补角的性质解决．

拓展角度2利用垂线的作法探究两角关系(验证法)

18.(1)在图①中以P为顶点作∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂直;

(2)量一量∠P和∠1的度数,它们之间的数量关系是　　　　; 

(3)同样在图②和图③中以P为顶点作∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂直,分别写出图②和③中∠P和∠1之间的数量关系(不要求写出理由).图②:　　　　,图③:　　　　; 

(4)由上述三种情形可以得到一个结论:如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直,那么这两个角　　　　(不要求写出理由).

18.解:(1)如图①所示.

(2)∠1+∠P=180°

(3)如图②③,∠1=∠P;∠1=∠APC或∠1+∠BPC=180°

(4)相等或互补

拓展角度3利用垂线段的性质进行方案设计(建模思想)

19.如图,平原上有A,B,C,D四个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池.

(1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H的位置,使它到四个村庄的距离之和最小;

(2)计划把河水引入蓄水池H中,怎样开渠最短?并说明根据.

19.解:(1)如图,连接AD,BC,交于点H,则H点为蓄水池的位置,它到四个村庄的距离之和最小.

(2)如图,过点H作HG⊥EF,垂足为G,则沿HG开渠最短.根据:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.分析：本题考查了垂线段的性质在实际生活中的运用.体现了建模思想的运用.

拓展角度4利用垂线段的性质解决绝对值问题(数形结合思想)

20.在如图所示的直角三角形ABC中,斜边为BC,两直角边分别为AB,AC,设BC=a,AC=b,AB=c.

(1)试用所学知识说明斜边BC是最长的边;

(2)试化简|a-b|+|c-a|+|b+c-a|. 

20.解:(1)因为点C与直线AB上点A,B的连线中,CA是垂线段,所以AC<BC.因为点B与直线AC上点A,C的连线中,AB是垂线段,所以AB<BC.故AB,AC,BC中,斜边BC最长.

(2)因为BC>AC,AB<BC,AC+AB>BC,所以原式=a-b-(c-a)+b+c-a=a.