高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性测试题

3.1.3 函数的奇偶性

一、概念练习

1.已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是(   )

A. B. C. D.

2.已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则(   )

A.-7 B.7 C.-5 D.5

3.若，，且是函数的单调递增区间，则下列一定属于函数的单调递减区间的是(   )

A. B. C. D.

4.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，(   )

A. B. C. D.

5.若是周期为4的奇函数，且，则(   ).

A.  B. C.  D.

二、能力提升

6.若函数的定义域为R，且函数是偶函数，函数是奇函数，则(   )

A.-3 B.-1 C. 1 D. 3

7.已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是(   )

A. B. C. D.

8. （多选）已知函数是在R上的偶函数，且在上单调递减，令，，，则a，b，c满足的关系式正确的是(   )

A. B. C. D.

9. （多选）已知为定义在上的函数，对任意的，都有，并且当时，有，则(   )

A.

B.若，则

C.在上为增函数

D.若，且，则实数a的取值范围为

10. （多选）下列关于函数奇偶性的论述正确的是(   )
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.若奇函数在处有定义，则
C.偶函数的定义域一定关于原点对称，其图象一定关于y轴对称
D.图象过原点的奇函数一定是单调函数

11.已知定义在R上的函数，对任意都有，当时，，则____________.

12.写出一个在[0,2]上单调递减的偶函数:________.

13.已知为R上的奇函数，且其图象关于点对称，则_____________.

14.已知函数的定义域为，函数.

（1）求函数的定义域；

（2）若为奇函数，并且在定义域上单调递减，求不等式的解集.

15.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.当时，求函数的解析式.

答案以及解析

1.答案：D

解析：因为是偶函数,所以的图象关于y轴对称,所以的图象关于直线对称.又在上单调递减,所以在上单调递增,因为,所以,所以由可得,或,解得.故选D.

2.答案：D

解析：本题考查函数的奇偶性.根据题意，当时，，则，又由函数为R上的奇函数，得.

3.答案：B

解析：本题考查函数的奇偶性及单调性.因为，所以是偶函数，因而在上一定单调递减.

4.答案：A

解析：本题考查奇偶函数的解析式.当时，，则，又因为函数为奇函数，所以，.

5.答案：C

解析：由题意得,所以选项A错误;由题意得,所以选项B错误;由题意得,所以选项C正确,选项D错误.故选C.

6.答案：A

解析：因为函数是偶函数，所以，即,①

因为函数是奇函数，所以，即,②

由①②可得，故选A.

7.答案：B

解析：为偶函数，

，

等价于，

又函数在区间上单调递增，

，即，

.故选B.

8.答案：AB

解析：本题考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小.，因为在上单调递减，且，所以.

9.答案：ACD

解析：令,则,即,故A正确；
令,则,
又,于是,
所以为奇函数，
因为,所以,故B错误；
任取,且,
则,
由知,,
所以,
所以,
所以函数为上的增函数，故C正确；
因为,所以,
所以等价于,
即,
所以,
所以,即,解得或,故D正确.

10.答案：BC

解析：对于A，偶函数的图象关于y轴对称，若定义域包含零，则其图象一定与y轴相交，若定义域不包含零，则其图象与y轴不相交，所以A不正确；对于B，奇函数的图象关于原点对称，若定义域包含零，则必有，所以B正确；对于C，由偶函数定义知，C显然正确；对于D，奇函数的图象关于原点对称，但不一定是单调函数，所以D不正确.故选BC.

11.答案：

解析：本题考查函数的性质.因为函数为偶函数，所以.

12.答案：

解析：根据题意，要求在区间[0,2]上单调递减的偶函数，可以求图象开口向下且对称轴为y轴的二次函数，故满足条件的一个单调递减的偶函数为.

13.答案：0

解析：因为函数的图象关于点对称，所以.又因为是奇函数，所以，所以是周期为6的函数，所以.

14.答案：（1）

（2）

解析：（1）由题意可知，解得，
的定义域为.
（2）由得，
.
是奇函数，，
又在上单调递减，
，解得.

不等式的解集为.

15.答案：

解析：当时，，所以.
所以.又当时，也满足，
所以当时，函数的解析式为.