人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系课时训练

3.2 函数与方程、不等式之间的关系

一、概念练习

1.函数的零点是(   )

A.1 B.1或-1 C.0 D.0，-1或1

2.函数的零点是(   )

A.2，4 B.-2，-4 C.， D.

3.设函数若，则函数的零点是(   )
A.1 B. C.1, D.1,

4.下列图像表示的函数中没有零点的是(   )
A. B.
C.  D.

5.若函数在定义域上是偶函数,且在上单调递减,,则函数的零点(   )

A.只有一个 B.只有两个 C.至少有两个 D.无法判断

二、能力提升

6.若,则函数的零点是(   )

A. B. C.2 D.

7.已知是定义在上的奇函数,且,则函数的零点个数至少为(   )

A.3 B.4 C.5 D.6

8. （多选）关于函数，下列说法正确的是(   ).

A.有且仅有一个零点 B.在，上单调递减

C.的定义域为 D.的图象关于点对称

9. （多选）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的零点为(   )
A.1 B.3 C. D.

10. （多选）已知函数的图像分别如图1,2所示,方程的实根个数分别为,则(   )

A. B. C. D.

11.若是函数的一个零点，则的另一个零点为___________.

12.若函数在区间上有两个零点，则实数a的取值范围是________________.

13.若函数在区间上至少有一个零点，则实数a的取值范围为____________.

14.已知函数.

（1）当时，求函数的零点；

（2）对任意，函数恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围.

15.已知二次函数满足，.
（1）求函数的解析式；
（2）令，若函数有4个零点，求实数m的取值范围.

答案以及解析

1.答案：A

解析：本题考查零点的概念.令，得或-1，但当时，无意义，故只有一个零点.

2.答案：B

解析：令，即，

解得，，

故函数的零点为-2，-4，故选B.

3.答案：C

解析：当时，，令，得；当时，，令，得，正值舍去，所以.所以的零点为1，.故选C.

4.答案：A

解析：选项B,C,D中的图像均与x轴有交点，故函数均有零点；选项A中的图像与x轴没有交点，故函数没有零点.故选A.

5.答案：B

解析：因为在上单调递减,,所以在上有且仅有一个零点2.又是偶函数,所以在上有且仅有一个零点.故函数只有两个零点和2.

6.答案：A

解析：根据函数零点的概念,函数的零点就是方程的根,解方程,即,得,故选A.

7.答案：C

解析：∵是定义在上的奇函数,∴,且的零点关于原点对称,∴零点个数为奇数,排除选项B,D.又,∴,,∴,,∴的零点至少为,共5个,故选C.

8.答案：ABC

解析：，作出函数的图象(图略)，由图象可知，函数只有一个零点，定义域为，在，上单调递减，图象关于点对称，故A，B，C正确，故选ABC.

9.答案：ABD

解析：令，则，所以.因为是定义在R上的奇函数，所以，所以当时，.所以所以当时，令，即，解得或；当时，令，即，解得（舍去）或.所以函数有三个零点，分别为1,3，.故选ABD.

10.答案：AD

解析：结合题图2,可知当时,或,此时对应的的值有2个,所以.结合题图1,可知当时,,对应的的值有4个,所以.结合题图2,可知当时,取到4个值,而对应的的值有6个,所以.根据选项,易知A,D成立,故选AD.

11.答案：1

解析：由，得，则.令，即，解得，，所以的另一个零点是1.

12.答案：

解析：当时，，因此不是的零点.

当时，，

由，得，

若，则另一根；

若，则另一根.

符合题意.

若在内有两个零点，

则

即解得.

综上所述，a的取值范围是.

13.答案：

解析：因为函数在区间上至少有一个零点，且，
所以或
解得或，即.
所以实数a的取值范围为.

14.答案：（1）函数的零点为-1，

（2）实数a的取值范围是

解析：（1）当，时，令，解得或，
所以函数的零点为-1，.

（2）依题意，恒有两个不同的实根，
所以对任意恒成立，且，
即，且，解得且.
所以实数a的取值范围是.

15.答案：（1）设,
,,,
,,
,
解得
.
（2）由（1）得,
在平面直角坐标系中，画出函数的图像，如图所示，

由于函数有4个零点，因此函数的图像与x轴有4个交点.
由图像得解得,
即实数m的取值范围是.